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Disequazioni esponenziali con logaritmi – esercizi svolti

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Questa dispensa raccoglie alcuni esercizi misti su disequazioni esponenziali, risolvibili con l’ausilio dei logaritmi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Introduzione

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Quando ci si trova davanti a disequazioni “miste’’ – cioè con logaritmi, esponenziali, valori assoluti, radici e magari frazioni – la cosa più importante è non farsi impressionare dalla forma. Il cuore del lavoro consiste sempre in due operazioni: stabilire dove l’espressione ha senso (il dominio) e poi decidere di che segno è nelle zone ammesse. Tutto il resto serve solo a ricondurre il problema a questo doppio interrogativo.

Si parte dunque dal dominio. Un logaritmo pretende argomento positivo e base maggiore di zero e diversa da uno; una radice pari vuole radicando non negativo; un denominatore non può annullarsi. Annotare subito queste richieste libera la mente: in seguito sapremo di poter ragionare solo su quelle regioni della retta in cui i conti sono leciti, senza timore di commettere “peccati di dominio”.

Sistemato il terreno, ci si occupa della monotonia. Il logaritmo in base maggiore di uno è crescente, in base fra zero e uno decrescente; l’esponenziale in base maggiore di uno è sempre crescente (e decrescente se la base è fra zero e uno). Questa osservazione permette di “togliere il log’’ o “togliere l’esponenziale’’: una disuguaglianza del tipo

\[ \log_{a}A\ge\log_{a}B \]

si traduce in A\ge B se a>1 e in A\le B se 0<a<1, evitando così di trascinarsi i logaritmi fino alla fine.

Quando l’incognita sta nell’esponente, conviene una sostituzione del tipo t=a^{x}\,(t>0); il passaggio trasforma funzioni trascendenti in polinomi o frazioni razionali, dove l’analisi del segno è puramente algebrica. Con più valori assoluti, invece, si individuano i punti in cui ciascun argomento si annulla, si suddivide la retta in intervalli e in ciascuno si leva il “coperchio’’ del modulo, sostituendo |F(x)| con \pm F(x) a seconda del segno effettivo di F(x) in quell’intervallo.

A questo punto, un buon novanta per cento delle disequazioni si è già ridotto a un polinomio o, più spesso, a un quoziente \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}. Non resta che studiarne il segno: si fattorizzano P e Q, si collocano su un’unica linea gli zeri ottenuti (prendendo nota di quelli proibiti dal dominio) e si costruisce la consueta tabella dei segni. L’intervallo o la combinazione di intervalli richiesti dalla disequazione si legge direttamente da quella tabella, intersecandola infine con le condizioni di esistenza annotate all’inizio.

Un esempio tipico chiarisce il meccanismo. Consideriamo

\[ \log_{3}\!\bigl(2^{2x+1}-5\cdot2^{x}-3\bigr) -\log_{3}\!\bigl(2^{x}-3\bigr)\ge0. \]

Gli argomenti dei logaritmi ci costringono a 2^{2x+1}-5\cdot2^{x}-3>0 e 2^{x}-3>0. Poiché la base è 3>1, il logaritmo è crescente; possiamo quindi scrivere

\[ \frac{2^{2x+1}-5\cdot2^{x}-3}{2^{x}-3}\ge1. \]

Mettiamo t=2^{x}>0; la disequazione diventa

\[ \frac{2t^{2}-5t-3}{t-3}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}-6t\ge0 \quad\Longrightarrow\quad t(t-3)\ge0. \]

Dato che t>0 per definizione, l’unica condizione sostanziale è t\ge3, cioè 2^{x}\ge3, da cui x\ge\log_{2}3. Intersecando con il dominio iniziale otteniamo la soluzione finale (\log_{2}3,+\infty).

Il filo rosso è sempre lo stesso: controllare dove l’espressione vive, sfruttare la monotonia per sbarazzarsi di logaritmi ed esponenziali, eliminare con cura i moduli, ridurre a un oggetto algebrico elementare e, infine, leggerne il segno. Una volta interiorizzato questo percorso, la varietà delle forme esterne non fa più paura: il metodo resta identico, dall’inizio alla fine.


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[ 4^{\,3+x}\;\ge\;7^{\,2-x}. \]

Svolgimento.

Si prenda il logaritmo naturale di entrambi i membri (la base è >1, perciò il verso non cambia):

\[ (3+x)\,\log 4\;\ge\;(2-x)\,\log 7. \]

Portando tutto a sinistra e raccogliendo x,

\[ x(\log 4+\log 7)+3\log 4-2\log 7\;\ge\;0, \]

donde

\[ x\;\ge\;\frac{2\log 7-3\log 4}{\log 4+\log 7} =\frac{\log \!\bigl(\tfrac{49}{64}\bigr)}{\log 28} \approx -0{,}08. \]

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left[\,\dfrac{\log (49/64)}{\log 28},\,+\infty\right).}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[ 3\cdot5^{2-x}-6^{\,1+x}\;<\;8\cdot5^{2-x}-2\cdot6^{\,1+x}. \]

Svolgimento.

Portando tutto a sinistra si ottiene

\[ 3\cdot5^{2-x}-6^{\,1+x}-8\cdot5^{2-x}+2\cdot6^{\,1+x}<0 \;\Longleftrightarrow\; -5\cdot5^{2-x}+6^{\,1+x}<0. \]

La disequazione è equivalente a

\[ 6^{\,1+x}\;<\;5\cdot5^{2-x}, \qquad\text{ossia}\qquad 6^{\,x+1}\;<\;5^{\,3-x}. \]

Calcolando il logaritmo naturale di entrambi i membri, il verso della disuguaglianza si conserva essendo tale funzione strettamente crescente:

\[ (x+1)\log 6\;<\;(3-x)\log 5 \;\Longleftrightarrow\; x\log 30+\bigl(\log 6-3\log 5\bigr)<0. \]

Poiché \log 30>0 e \log 6-3\log 5=\log \!\bigl(\tfrac{6}{125}\bigr)<0,

\[ x<\frac{-\bigl(\log 6-3\log 5\bigr)}{\log 30} =\frac{\log \!\bigl(\tfrac{125}{6}\bigr)}{\log 30} =\log_{30}\!\Bigl(\frac{125}{6}\Bigr). \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,\,\log_{30}(125/6)).}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[ 5\cdot3^{1-x}-2^{1+x}\;\ge\;4\cdot3^{1-x}+3\cdot2^{1+x}. \]

Svolgimento.

Portando tutti i termini a sinistra,

\[ 5\cdot3^{1-x}-2^{1+x}-4\cdot3^{1-x}-3\cdot2^{1+x}\;\ge\;0 \;\Longrightarrow\; 3^{1-x}-4\cdot2^{1+x}\;\ge\;0. \]

Osservando che 4\cdot2^{1+x}=2^{3+x},

\[ 3^{1-x}\;\ge\;2^{3+x}. \]

I due membri sono positivi, perciò si può applicare il logaritmo naturale, che preserva il verso della disequazione

\[ (1-x)\,\log 3\;\ge\;(3+x)\,\log 2. \]

Raggruppando i termini in x,

\[ x\bigl(-\log 3-\log 2\bigr)\;\ge\;3\log 2-\log 3. \]

Il coefficiente di x è negativo; dividendo entrambi i membri per esso si inverte il verso della disequazione:

\[ x\;\le\; -\frac{\,3\log 2-\log 3\,}{\log 2+\log 3} \;=\; -\frac{\log \!\bigl(\tfrac83\bigr)}{\log 6} \;\approx\;-0.55. \]

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\infty,\;-\dfrac{\log (8/3)}{\log 6}\right ].}\]


 
 

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