Esponenziali – Esercizi misti

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Esercizi misti sugli esponenziali.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Una colonia di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Se il numero di batteri raddoppia in $3$ ore, dopo quanto tempo il numero di batteri sarà il triplo?

Svolgimento.

La legge di crescita di una colonia di batteria è del tipo

$N(t) = N_0 e^{kt}$

dove $N(t)$ indica il numero di batteri all’istante $t$ , $N_0$ è il numero di batteri al tempo iniziale $t=0$ , $k$ è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e $t$ indica il tempo. Al tempo generico $t_0$ abbiamo

$N(t_0) = N_0 e^{kt_0}$

e dopo tre ore dal tempo $t_0$ abbiamo

$N(t_0+3) = N_0 e^{k(t_0+3)}.$

Da quanto richiesto, cioè che dopo tre ore il numero di batteri raddoppia, imponiamo

$\begin{aligned} \underbrace{N(t_0+3)}_{\text{\small{Batteri dopo $3$ ore}}} = \underbrace{2N(t_0)}_{\text{\small{Batteri raddoppiati}}} & \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{k(t_0+3)} = 2 N_0 e^{kt_0} \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{kt_0} e^{3k} = 2 N_0 e^{kt_0}\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \; e^{3k} = 2 \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \quad \Leftrightarrow \quad e^{3k} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \ln e^{3k} = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3k = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad k = \dfrac{\ln 2}{3}. \end{aligned}$

Quindi il numero di batteri sarà triplo quando

$3N_0 = N_0 e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad 3\; \cancel{N_0} = \cancel{N_0} \; e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad kt^\star=\ln 3$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{t^\star = \dfrac{\ln 3}{k}= \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot 3 = 4,75 \, \text{h}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Il numero di batteri di una colonia cresce esponenzialmente. Alle $14$ di ieri il numero di batteri era $1000$ e alle $16$ era $9000$ . Quanti batteri ci saranno alle $18$ ?

Svolgimento.

La legge di crescita di una colonia di batteria è del tipo

$N(t) = N_0 e^{kt}$

Abbiamo

$N(14)=N_0 e^{14k}.$

Alle ore $16$ , avremo

$N(16) = N_0 e^{16k}$

ma sappiamo anche che

$N(14) = 1000 \qquad \mbox{e} \qquad N(16) = 9000$

per cui ponendo a sistema

$\begin{cases} N_0 e^{14k}=1000\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} e^{2k} = 9\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{\begin{cases} k = \dfrac{\ln 9}{2} \\\\ N_0 = 81000. \end{cases} }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Il tempo di dimezzamento del cobalto radioattivo è di circa $5,27$ anni. Se oggi abbiamo $100$ grammi di cobalto radioattivo, quanto ne sarà rimasto dopo $10$ anni?

Svolgimento.

La legge di decrescita radioattività è del tipo

$m(t) = m_0 e^{kt}$

dove $m(t)$ indica la massa dell’elemento al tempo $t$ , $m_0$ è la massa iniziale, $k$ è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e $t$ indica il tempo. Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento, quindi sappiamo che

$m(5,27)=m_0 \; e^{5,27 \, k} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{m_0}{2} = m_0 \; e^{5,27 \, k} \quad \Rightarrow \quad k = - \dfrac{\ln 2}{5,27}.$

Come ci aspettavamo $k<0$ poiché parliamo di decrescita (la massa sta diminuendo nel tempo). Dunque, avendo trovato la costante, otteniamo

$m(10) = m_0 \; e^{10 \, k}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{m(10) = 100 \, \text{gr} \; e^{-10 \, \frac{\ln2}{5,27}} = 26,9 \, \text{gr}.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Trova il valore della costante di decrescita esponenziale per un elemento il cui tempo di dimezzamento (cioè il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento) è di $30$ giorni.

Svolgimento.

La legge di decrescita radioattività è del tipo

$m(t) = m_0 e^{kt}$

Sappiamo che

$m(30) = \dfrac{m_0}{2}$

quindi, dato che

$m(30) = m_0 \; e^{30 \, k}$

allora

$m_0 \; e^{30 \, k} = \dfrac{m_0}{2} \quad \Rightarrow \quad e^{30k} = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 30k = \ln \dfrac{1}{2}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{k = - \dfrac{\ln 2}{30}. }$

La costante è negativa come ci aspettavamo, poiché stiamo parlando di un decadimento nel tempo.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un modello che è stato sviluppato per descrivere il surriscaldamento globale (cioè il progressivo aumento della temperatura
media dell’atmosfera terrestre e degli oceani) è costituto dalla funzione:

$f(t) = 0,1 \; e^{0,02t}$

dove $t$ indica il tempo (in anni) trascorso dal $1900$ e $f(t)$ indica il corrispondente incremento della temperatura media (in $^\circ C$ ) della Terra. Sulla base di questo modello, rispondi alle seguenti domande.

$\quad$

Di quanto è aumentata la temperatura media della Terra dal $1900$ al $2010$ ? Arrotonda il risultato alla prima cifra decimale.

In quale anno la temperatura media della Terra sarà $5^\circ$ C in più della temperatura media della Terra nel $1900$ ? Arrotonda il risultato a un numero intero.

Svolgimento punto 1.

Prendendo come istante inziale l’anno $1900$ , allora dobbiamo calcolare l’aumento della temperatura in

$2010 - 1900 = 110 \, \text{anni}$

per cui

$\boxcolorato{superiori}{f(110) = 0,1^\circ\text{C} \; e^{0,02 \cdot 110} = 0,9 ^\circ \text{C}. }$

Svolgimento punto 2.

Dobbiamo impostare

$5^\circ\text{C} = 0,1^\circ\text{C} \; e^{0,02 t} \quad \Rightarrow \quad 50 = e^{0,02 t}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{t = \dfrac{\ln 50}{0,02} \simeq 195,6 \, \text{anni}. }$

Quindi nel $2096$ la temperatura sarà aumentata di $5^\circ$ C.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quanti sono i termini di una successione geometrica di ragione uguale a $2$ con primo termine $8$ ed ultimo termine $512$ ?

Svolgimento.

Dati una coppia di numeri $a$ ed $r$ , una successione geometrica di ragione $r$ e primo termine $a$ è una successione

$a_1:=a \qquad a_2:=ar \qquad \cdots \qquad a_n:=ar^{n-1} \qquad \cdots$

Una successione così fatta ha la peculiarità che il rapporto tra un termine ed il precedente è sempre costante ed è uguale alla ragione $r$ . Nel caso dell’esericizio $a=8$ e $r=2$ , dobbiamo quindi risolvere

$a_n=8\cdot 2^{n-1}=512 \implies 2^{n-1}=\frac{512}{8}=64=2^6 \implies \boxcolorato{superiori}{ n=7.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Disporre in ordine crescente i seguenti numeri senza l’ausilio di una calcolatrice, considerando che $e \approx 2,71$ :

$z=\ln 4, \quad t=\sqrt{e}.$

Svolgimento.

Grazie alla monotonia della potenza con base $e$ , si ha

(1) $\begin{equation*} \sqrt{e}> \ln 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\ln 4} = 4. \end{equation*}$

Dalla stima $e \approx 2,71 > \frac{8}{3}$ segue $\sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}>\frac{5}{3}> \frac{3}{2}$ e quindi

(2) $\begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40}{9} > 4. \end{equation*}$

Si deduce quindi

$\boxcolorato{superiori}{z < t.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare le soluzioni della seguente equazione esponenziale:

(3) $\begin{equation*} 9^x - 2^{x+1}5^{x/2}-4^x-5^x = 0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Scriviamo (3) come segue:

$\begin{aligned} 9^x - 2^{x+1}5^{x/2}-4^x-5^x = 0 & \iff 3^{2x} - \left(2^x+5^{x/2} \right)^2 = 0 \iff \\ &\iff \left(3^x - 2^x - 5^{x/2}\right)\left(3^x + 2^x + 5^{x/2}\right) = 0. \end{aligned}$

Osserviamo che

$3^x + 2^x + 5^{x/2}>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R},$

per cui l’equazione è soddisfatta se e solo se

$3^x - 2^x - 5^{x/2}=0.$

Ponendo $t = x/2$ otteniamo

(4) $\begin{equation*} 9^t = 5^t + 4^t. \end{equation*}$

Si osserva facilmente che $t = 1$ (ovvero $x = 2$ ) è una soluzione. Vogliamo indagare se ci sono altre radici per (4), dunque riscriviamo (4) come segue:

(5) $\begin{equation*} \left(\dfrac{5}{9} \right)^t+\left(\dfrac{4}{9} \right)^t-1=0. \end{equation*}$

Osserviamo che entrambe le funzioni $t \mapsto \left(\dfrac{5}{9} \right)^t$ e $t \mapsto \left(\dfrac{4}{9} \right)^t$ , essendo esponenziali con base strettamente minore di $1$ , sono strettamente decrescenti, quindi la funzione

$f \colon t \in \mathbb{R} \longmapsto \left(\dfrac{5}{9} \right)^t+\left(\dfrac{4}{9} \right)^t-1$

è strettamente descrescente, e ciò implica che la soluzione $t=1$ trovata è unica.

Alternativamente si poteva calcolare la derivata $f^\prime(t)$ :

$f'(t) = \left(\frac{5}{9}\right)^t \underbrace{\ln\frac{5}{9}}_{<0} + \left(\frac{4}{9}\right)^t \underbrace{\ln\frac{4}{9}}_{<0} < 0, \qquad \forall t \in \mathbb{R},$

che, essendo negativa, implica appunto che $f$ è strettamente decrescente.

Concludiamo che l’unica soluzione dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{x=2.}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale dei disegni mostrati sotto rappresenta il grafico della funzione

$f(x) = 2^{-x} \sin^2\left(x^2\right)?$

$\quad$

$\quad$

Svolgimento.

Per prima cosa, notiamo che $f$ è una funzione non negativa, per cui possiamo escludere la $\fbox{2}$ . Inoltre, $f(0) = 0$ , che ci permette di escludere anche la $\fbox{4}$ .

Per distinguere tra i due casi rimanenti, notiamo che gli zeri della funzione rappresentata dal grafico $\fbox{3}$ sono equispaziati, mentre gli zeri di $\sin\left(x^2\right)$ si addensano per $x \to +\infty$ . Questo succede nel primo grafico ma non nel terzo, in cui gli zeri hanno una distanza approssimativamente costante. Per esclusione si conclude che il grafico di $f$ è rappresentato nella prima figura.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quante soluzioni reali (positive) ha la seguente equazione?

$x = 8^{\log_2(x)} - 9^{\log_3(x)} - 4^{\log_2(x)} + \log_{0\text{,5}}(0\text{,25}).$

Svolgimento.

Per prima cosa, notiamo che affinché l’equazione sopra abbia significato, è necessario che $x > 0$ . Cerchiamo ora di renderla più maneggevole. In particolare, usando le proprietà delle potenze e dei logaritmi:

$\log_{0\text{,5}}(0\text{,25}) = \log_{1/2}\left(\frac{1}{4}\right) = \log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\!2} = 2.$

Possiamo ora riscrivere il membro di destra così:

$\begin{aligned} \phantom{=} {} & 8^{\log_2(x)} - 9^{\log_3(x)} - 4^{\log_2(x)} + \log_{0\text{,5}}(0\text{,25}) = \\ = {} & (2^3)^{\log_2(x)} - (3^2)^{\log_3(x)} - (2^2)^{\log_2(x)} + 2 = \\ = {} & [2^{\log_2(x)}]^3 - [3^{\log_3(x)}]^2 - [2^{\log_2(x)}]^2 + 2 = \\ % = {} & 2^{\log_2(x^3)} - 3^{\log_3(x^2)} - 2^{\log_2(x^2)} + 2 = \\ = {} & x^3 - x^2 - x^2 + 2. \end{aligned}$

L’equazione originale è pertanto equivalente alla seguente (sotto la restrizione $x > 0$ ), che si può fattorizzare facilmente:

$\begin{gathered} x^3-2x^2 - x + 2 = 0; \\ x^2(x-2) - (x-2) = 0; \\ (x^2-1)(x-2) = 0; \\ (x-1)(x+1)(x-2) = 0. \end{gathered}$

In questo modo si leggono immediatamente le tre soluzioni reali $x = -1$ , $x = 1$ , $x = 2$ . Quella negativa, come discusso all’inizio, va scartata. La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{2 soluzioni.}}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri l’equazione

$x\, 2^x = y\, 2^y.$

Quante coppie di numeri reali positivi distinti $(x,y)$ sono soluzioni?

Svolgimento.

Per $x > 0$ , la funzione $f(x) = x\,2^x$ è il prodotto di due funzioni strettamente crescenti e positive ( $x$ e $2^x$ ): come tale, è a sua volta strettamente crescente, e quindi è iniettiva. Questo vuol dire che, se $f(x) = f(y)$ , allora $x = y$ . Dato che il quesito richiede il numero di coppie di numeri reali distinti che soddisfano l’equazione, concludiamo che non ne esiste nessuna.

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$7^{2x-1}-14^{x}=0.$

Svolgimento.

Scriviamo $14^{x}=2^{x}7^{x}$ , da cui

$7^{2x-1}-2^{x}7^{x} = 0.$

Dividendo per $7^{x}>0$ {otteniamo}

$7^{x-1}=2^{x}.$

Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri otteniamo

$(x-1)\ln 7 = x \ln 2 \iff (\ln 7 - \ln 2)x = \ln 7,$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = \frac{\ln 7}{\ln 7 - \ln 2}. }$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{2x}=5\cdot2^{x} .$

Svolgimento.

Applicando il logaritmo naturale di entrambi i membri troviamo

$2x\ln3=\ln5+x\ln2,$

ossia

$\boxcolorato{superiori}{x=\dfrac{\ln5}{2\ln3-\ln2}. }$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$\frac34\,5^{x}+7\cdot3^{x}=\frac23\,5^{x}+10\cdot3^{x} .$

Svolgimento.

Tramite manipolazioni algebriche si ottiene

$\left(\frac34-\frac23\right)5^{x}-(7-10)\cdot3^{x}=0\iff \frac{1}{12}5^x -3\; 3^x = 0 \iff \left(\frac{5}{3}\right)^x = 36,$

da cui applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri si ha

$x \ln \frac{5}{3} = \ln 36,$

e quindi

$\boxcolorato{superiori}{x = \frac{\ln 36}{\ln \frac{5}{3}}. }$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$2^{x}+e^{x}=2 .$

Svolgimento.

Osserviamo che

$2^0 + e^0 = 1+1=2,$

ed inoltre le funzioni $2^{x}$ ed $e^{x}$ sono strettamente crescenti e dunque la loro somma risulta strettamente crescente. Quindi l’unica l’unica soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{x=0. }$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri la seguente equazione:

$7^{2x}-1-14^{x}=0.$

$\quad$

Stabilire se essa ammette almeno una soluzione positiva.

Tale soluzione è unica?

Svolgimento.

Consideriamo la funzione continua
$g(x) = 7^{2x}-14^x - 1,$

che assume come valori

$g(0) = 1-1-1= -1<0, \quad \quad g(1) = 7^2 -14-1 = 34>0.$

Per il teorema dei valori intermedi sappiamo che la funzione $g$ assume valore nullo in almeno un punto $x \in (0,1)$ .

Osserviamo che possiamo raccogliere $7^{2x}$ nei due termini esponenziali e riscrivere il primo membro dell’equazione come

(6) $\begin{equation*} 7^{2x}\left (1- \left (\frac{2}{7}\right )^x\right ) - 1. \end{equation*}$

Per $x >0$ la funzione $x \mapsto 7^{2x}=49^x$ è strettamente crescente e positiva in quanto è un esponenziale con base maggiore di $1$ ; analogamente, la funzione $x \mapsto 1-\left (\frac{2}{7}\right )^x$ è strettamente crescente e positiva, in quanto la funzione $x \mapsto \left (\frac{2}{7}\right )^x$ è strettamente decrescente e minore di $1$ . Quindi il primo membro (6) è una funzione strettamente crescente per $x>0$ . Ne segue che la soluzione determinata al punto precedente è l’unica possibile.

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Data l’equazione

$3^{2x+1}+3^{x-1}=2\cdot5^{2-x},$

stabilire se esistono delle soluzioni e determinarne il numero.

Svolgimento.

Osserviamo che il primo membro si può scrivere come

$3\cdot 9^x + \frac{1}{3}\cdot 3^x,$

che è strettamente crescente nella variabile $x$ , in quanto somma di due esponenziali con base strettamente maggiore di $1$ .

Il secondo membro invece è strettamente decrescente, infatti

$2\cdot 5^{2-x} = \frac{2\cdot 25}{5^x}$

in quanto un multiplo di un esponenziale con base $\frac{1}{5}<1$ . Dunque l’espressione

$g(x)= 3^{2x+1}+3^{x-1}-2\cdot 5^{2-x}$

è strettamente crescente rispetto a $x$ , pertanto essa può assumere valore nullo per al più un $x \in \mathbb{R}$ . Dunque può esistere al più una soluzione dell’equazione.