Sistemi di equazioni esponenziali: esercizi svolti

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Esercizi su sistemi di equazioni esponenziali.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali che soddisfano

$\left\{ \begin{aligned} 2^{x}+y &= 3\\ 2^{x}-y &= 61. \end{aligned} \right.$

Svolgimento.

Poiché l’esponenziale $2^{x}$ è sempre positivo, poniamo $2^{x}=a>0$ ; il sistema diventa

$\left\{ \begin{aligned} a+y &= 3\\ a-y &= 64 \end{aligned} \right.$

Sommando e sottraendo membro a membro si ottiene

$\begin{aligned} 2a &= 3+61 \iff a=32,\\[4pt] 2y &= 3-61 \iff y=-29. \end{aligned}$

Sostituendo ora $a=2^{x}$ si ha

$2^{x}=32\iff x=5.$

Di conseguenza l’unica soluzione reale del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\bigl\{\bigl(5,\,-29\bigr)\bigr\}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali che soddisfano

$\left\{ \begin{aligned} x-2y^{2} = 0\\ 4^{x}\cdot 8 = 16^{\,2y}. \end{aligned} \right.$

Svolgimento.

Dalla prima equazione si ricava immediatamente $x=2y^{2}$ , con $y\in\mathbb{R}$ . Scriviamo ora la seconda equazione in potenze di base $2$ :

$4^{x}\cdot8 = (2^{2})^{x}\,2^{3}=2^{2x+3}, \qquad 16^{\,2y}=(2^{4})^{2y}=2^{8y}.$

L’uguaglianza di due potenze con la stessa base positiva e diversa da $1$ consente di eguagliare gli esponenti per l’iniettività della funzione esponenziale:

$2x+3 = 8y.$

Sostituendo $x=2y^{2}$ si ottiene

$2\bigl(2y^{2}\bigr)+3 = 8y \;\Longleftrightarrow\; 4y^{2}-8y+3=0.$

Il discriminante vale $\Delta=(-8)^{2}-4\cdot4\cdot3=16$ , perciò

$y=\frac{8\pm4}{8}\in\Bigl\{\frac{3}{2},\;\frac{1}{2}\Bigr\}.$

Infine, applicando $x=2y^{2}$ ,

$\begin{aligned} y=\frac{3}{2} &\;\Longrightarrow\; x=2\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\frac{9}{2},\\[4pt] y=\frac{1}{2} &\;\Longrightarrow\; x=2\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\frac{1}{2}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{3}{2}\bigr),\;\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr\}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali che soddisfano

$\left\{ \begin{aligned} 9^{x}\,27^{y} &= 1\\ 4^{x}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{y} &= 32. \end{aligned} \right.$

Svolgimento.

Scriviamo tutte le potenze con base $3$ nella prima equazione e con base $2$ nella seconda:

$(3^{2})^{x}(3^{3})^{y}=3^{2x+3y}=1, \qquad (2^{2})^{x}2^{-y}=2^{2x-y}=2^{5}.$

Poiché $1=3^{0}$ e, in generale, due potenze con la stessa base positiva (diversa da $1$ ) sono uguali se e solo se lo sono i loro esponenti per l’iniettività della funzione esponenziale, otteniamo il sistema lineare