Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Sistemi di equazioni esponenziali

Esercizi misti su Esponenziali

Home » Sistemi di equazioni esponenziali

 
 

Sommario

Leggi...

Esercizi su sistemi di equazioni esponenziali.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} 2^{x}+y &= 3\\ 2^{x}-y &= 64. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Poiché l’esponenziale 2^{x} è sempre positivo, poniamo 2^{x}=a>0; il sistema diventa

\[ \left\{ \begin{aligned} a+y &= 3\\ a-y &= 64 \end{aligned} \right. \]

Sommando e sottraendo membro a membro si ottiene

\[ \begin{aligned} 2a &= 3+64 \;\Longleftrightarrow\; a=\frac{67}{2},\\[4pt] 2y &= 3-64 \;\Longleftrightarrow\; y=-\frac{61}{2}. \end{aligned} \]

Sostituendo ora a=2^{x} si ha

\[ 2^{x}=\frac{67}{2}\;\Longleftrightarrow\; x=\log_{2}\!\bigl(\tfrac{67}{2}\bigr). \]

Di conseguenza l’unica soluzione reale del sistema è

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\bigl\{\bigl(\log_{2}(67/2),\,-61/2\bigr)\bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} x-2y^{2} = 0\\ 4^{x}\cdot 8 = 16^{\,2y}. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Dalla prima equazione si ricava immediatamente x=2y^{2}, con y\in\mathbb{R}. Scriviamo ora la seconda equazione in potenze di base 2:

\[ 4^{x}\cdot8 = (2^{2})^{x}\,2^{3}=2^{2x+3}, \qquad 16^{\,2y}=(2^{4})^{2y}=2^{8y}. \]

L’uguaglianza di due potenze con la stessa base positiva e diversa da 1 consente di eguagliare gli esponenti per l’iniettività della funzione esponenziale:

\[ 2x+3 = 8y. \]

Sostituendo x=2y^{2} si ottiene

\[ 2\bigl(2y^{2}\bigr)+3 = 8y \;\Longleftrightarrow\; 4y^{2}-8y+3=0. \]

Il discriminante vale \Delta=(-8)^{2}-4\cdot4\cdot3=16, perciò

\[ y=\frac{8\pm4}{8}\in\Bigl\{\frac{3}{2},\;\frac{1}{2}\Bigr\}. \]

Infine, applicando x=2y^{2},

\[ \begin{aligned} y=\frac{3}{2} &\;\Longrightarrow\; x=2\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\frac{9}{2},\\[4pt] y=\frac{1}{2} &\;\Longrightarrow\; x=2\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\frac{1}{2}. \end{aligned} \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{9}{2},\tfrac{3}{2}\bigr),\;\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} 9^{x}\,27^{y} &= 1\\ 4^{x}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{y} &= 32. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Scriviamo tutte le potenze con base 3 nella prima equazione e con base 2 nella seconda:

\[ (3^{2})^{x}(3^{3})^{y}=3^{2x+3y}=1, \qquad (2^{2})^{x}2^{-y}=2^{2x-y}=2^{5}. \]

Poiché 1=3^{0} e, in generale, due potenze con la stessa base positiva (diversa da 1) sono uguali se e solo se lo sono i loro esponenti per l’iniettività della funzione esponenziale, otteniamo il sistema lineare

\[ \boxed{ \begin{cases} 2x+3y=0,\\ 2x-y =5. \end{cases}} \]

Sottraendo la seconda equazione dalla prima si trova 4y=-5, cioè y=-\dfrac54; sostituendo in 2x-y=5 segue

\[ 2x-\Bigl(-\dfrac54\Bigr)=5 \;\Longrightarrow\; 2x=\dfrac{40}{8} \;\Longrightarrow\; x=\dfrac{15}{8}. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{15}{8},-\tfrac{5}{4}\bigr)\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} y-2^{x} = 0\\ 5y = 4^{x}+4. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Dalla prima relazione si ricava y=2^{x}; sostituendo nella seconda si ottiene 5\cdot2^{x}=4^{x}+4. Scrivendo 4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x} e ponendo a=2^{x}>0 segue

\[ 5a=a^{2}+4 \;\Longleftrightarrow\; a^{2}-5a+4=0. \]

Il discriminante è \Delta=25-16=9; quindi

\[ a=\frac{5\pm3}{2}\in\{4,\,1\}. \]

Poiché a=2^{x},

\[ 2^{x}=4\;\Longrightarrow\;x=2, \qquad 2^{x}=1\;\Longrightarrow\;x=0. \]

Infine y=2^{x} porta alle coppie

\[ (x,y)=(2,4)\quad\text{e}\quad(x,y)=(0,1). \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\{(2,4),\,(0,1)\}.}\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} 3^{x}\,\sqrt{81^{\,x-y}} &= 1\\ 25^{x}\,\sqrt{125^{\,y}} &= 5. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Osservando che 81=3^{4} e 125=5^{3}, e ricordando che \sqrt{a^{\,k}}=a^{k/2} per a>0, si ottiene

\[ 3^{x}\,3^{2(x-y)} = 3^{\,x+2(x-y)} = 3^{3x-2y}=1=3^{0}, \qquad 25^{x}\,5^{\frac{3y}{2}} = 5^{2x+\frac{3y}{2}} = 5^{1}. \]

Dal confronto degli esponenti, in virtù dell’iniettività della funzione esponenziale, segue il sistema lineare

\[ \begin{cases} 3x-2y=0,\\ 4x+3y=2. \end{cases} \]

Dalla prima equazione y=\tfrac32\,x; sostituendo nella seconda si ha

\[ 4x+3\!\bigl(\tfrac32x\bigr)=2\;\Longrightarrow\;17x=4, \]

cioè x=\tfrac{4}{17}. Ne consegue y=\tfrac32\cdot\tfrac{4}{17}=\tfrac{6}{17}. Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{4}{17},\tfrac{6}{17}\bigr)\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\bigstar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} 4^{y^{2}}-2^{4x} &= 0\\[4pt] \dfrac{625^{x}\,\sqrt{25^{x}}}{\sqrt{125}} &= \Bigl(\dfrac{1}{5}\Bigr)^{y}. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Dalla prima equazione segue 4^{y^{2}} = 2^{4x}; poiché 4 = 2^{2}, risulta 2^{2y^{2}} = 2^{4x} e quindi 2y^{2} = 4x, ossia

\[ x=\frac{y^{2}}{2}. \]

Nella seconda equazione scriviamo tutto in base 5:

\[ 625^{x}\sqrt{25^{x}} = (5^{4})^{x}\,5^{x}=5^{5x}, \qquad \sqrt{125}=5^{3/2}, \]

da cui

\[ \frac{625^{x}\sqrt{25^{x}}}{\sqrt{125}} =5^{5x-\frac32} =\Bigl(\tfrac15\Bigr)^{y}=5^{-y}. \]

Uguagliando gli esponenti (in virtù dell’iniettività della funzione esponenziale) otteniamo

\[ 5x-\frac32=-y. \]

Sostituendo x=\dfrac{y^{2}}{2} si ha

\[ 5\Bigl(\frac{y^{2}}{2}\Bigr)-\frac32=-y \;\Longleftrightarrow\; 5y^{2}+2y-3=0. \]

Il discriminante è \Delta=64; dunque

\[ y=\frac{-2\pm8}{10}\in\Bigl\{\frac35,\,-1\Bigr\}. \]

Da x=\dfrac{y^{2}}{2} seguono le soluzioni

\[\boxcolorato{superiori}{\mathcal{S}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{9}{50},\tfrac35\bigr),\; \bigl(\tfrac12,-1\bigr)\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \left\{ \begin{aligned} 36\cdot 6^{\,x-y} &= 6^{\,2x}\\[2pt] 49^{x}\,\sqrt{7^{\,y}} &= 1. \end{aligned} \right. \]

Svolgimento.

Poiché 36 = 6^{2}, la prima relazione diventa 6^{2+x-y}=6^{2x}; uguagliando gli esponenti in virtù dell’iniettività della funzione esponenziale si ha

\[ 2+x-y = 2x \iff x = 2-y. \]

Nella seconda equazione poniamo 49 = 7^{2} e \sqrt{7^{\,y}} = 7^{y/2}; segue

\[ 7^{2x+y/2} = 1 = 7^{0} \iff 2x+\frac{y}{2}=0 \iff 4x+y = 0. \]

Sostituendo x = 2-y in 4x + y = 0 otteniamo 4(2-y)+y = 0 \Longleftrightarrow 8 - 4y + y = 0, da cui 3y = 8 e pertanto

\[ y = \frac{8}{3}, \qquad x = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S = \bigl\{\,(-\tfrac{2}{3},\;\tfrac{8}{3})\bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \begin{cases} x^{2}+y^{2} = \dfrac{13}{36}\\[4pt] 2^{\,x+y} = \sqrt[6]{32}. \end{cases} \]

Svolgimento.

Dal secondo vincolo segue

\[ 2^{\,x+y}=32^{1/6}=2^{5/6}\;\Longrightarrow\; x+y=\frac56 . \]

Scrivendo il primo membro della prima equazione come

\[(x+y)^2-2xy\]

e sostituendo l’informazione x+y=\frac56, si ottiene

\[ x^{2}+y^{2}= (x+y)^{2}-2xy=\frac{13}{36}\;\Longrightarrow\; \Bigl(\frac56\Bigr)^{2}-2xy=\frac{13}{36}\;\Longrightarrow\; xy=\frac16 . \]

Dunque x e y sono radici del trinomio

\[ t^{2}-\frac56\,t+\frac16=0 , \]

il cui discriminante vale

\[ \Delta=\Bigl(\frac56\Bigr)^{2}-4\cdot\frac16=\frac{1}{36}, \quad \sqrt{\Delta}=\frac16 . \]

Le radici risultano quindi

\[ t=\frac{\frac56\pm\frac16}{2}\in\Bigl\{\frac12,\;\frac13\Bigr\}, \]

per cui

\[ (x,y)\in\Bigl\{\bigl(\tfrac12,\tfrac13\bigr),\;\bigl(\tfrac13,\tfrac12\bigr)\Bigr\}. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\,(1/2,\,1/3),\,(1/3,\,1/2)\}.}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri reali che soddisfano

\[ \begin{cases} 27^{\,3-x}+9^{\,3y-2}=36\\ x-y=1. \end{cases} \]

Svolgimento.

Dal vincolo lineare x-y=1 segue y=x-1; sostituendo tale espressione nella prima equazione si ottiene

\[ 27^{\,3-x}+9^{\,3(x-1)-2}=36. \]

Scrivendo tutto in base 3 (poiché 27=3^{3} e 9=3^{2}) la relazione diventa

\[ 3^{9-3x}+3^{6x-10}=36. \]

Poiché 36=27+9=3^{3}+3^{2}, l’uguaglianza può sussistere solo se

\[ 9-3x=3 \quad\text{e}\quad 6x-10=2, \]

condizioni entrambe equivalenti a x=2. Ne segue y=x-1=1. Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\bigl\{(2,1)\bigr\}.}\]