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Disequazioni esponenziali elementari

Equazioni e disequazioni elementari in Esponenziali

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Sommario

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Questo lavoro comprende alcuni esercizi dedicati alle disequazioni elementari con gli esponenziali. Si tratta dei primi esercizi che generalmente vengono affrontati dopo aver introdotto gli esponenziali. Gli esercizi sono pensati per studenti delle scuole superiori, per chi desidera ripassare le basi apprese durante il liceo o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[(0,1)^x<100.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[10^{-x}<10^2 \quad \Rightarrow \quad -x<2\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>-2.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 10, è maggiore di 1.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[7^{x+2}>49.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[7^{x+2}>7^2 \quad \Rightarrow \quad x+2>2\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>0.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 7, è maggiore di 1.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < 625.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < 5^4 \quad \Rightarrow \quad \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} \quad \Rightarrow \quad 2x+1>-4\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>-\dfrac{5}{2}.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo invertito il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 1/5, è minore di 1.


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+3} < \left(\dfrac{5}{2}\right)^{x-2}.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x+3} < \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-x+2} \quad \Rightarrow \quad x+3>-x+2 \quad \Rightarrow \quad 2x>-1\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>-\dfrac{1}{2}.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo invertito il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 1/5, è minore di 1.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}}.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[\begin{aligned} & 2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad 2^x \cdot 2^5 \cdot 3^x \cdot 3^2 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^x \cdot 32 \cdot 9 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6^x}{6^{\frac{3x-1}{x}}} \le \dfrac{1}{36} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^{x - \frac{3x-1}{x}} \le 6^{-2}. \end{aligned}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti dobbiamo mantenere il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 6, è maggiore di 1:

\[x - \dfrac{3x-1}{x} \le -2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2-x+1}{x}\le0.\]

Essendo una disequazione fratta andiamo a studiare numeratore e denominatore:

\[\begin{aligned} & N(x)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x+1\ge0 \qquad \forall \, x \in \mathbb{R}\\ & D(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x>0. \end{aligned}\]

Con una semplice regola dei segni otteniamo

\[\boxcolorato{superiori}{x<0.}\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la disequazione

\[\frac{e^x}{e^{x+1}} + \frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} \geq 1.\]

Svolgimento.

Il dominio della disequazione risulta:

\[ \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}: x \neq 0\}. \]

Facendo il minimo comune multiplo e portando tutto al primo membro si ottiene:

\[ \frac{-e^x - 2x+1 - (2e)^x}{2^x - 1} > 0. \]

Il numeratore è sempre negativo, per cui il denominatore deve altrettanto esserlo. Da ciò ne deriva che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{x < 0. }\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[ \left( \frac{3}{2} \right)^x < \frac{27}{8}. \]

Svolgimento.

Poiché

\[ \frac{27}{8}= \frac{3^{3}}{2^{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}, \]

la disequazione diventa

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^{x}<\left(\frac{3}{2}\right)^{3}. \]

La funzione y(x)=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{x} è crescente, in quanto la base \dfrac{3}{2} è maggiore di 1; di conseguenza, per mantenere il verso della disequazione è sufficiente confrontare gli esponenti:

\[ x<3. \]

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,3).}\]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[ 3^{2x} > 81. \]

Svolgimento.

Poiché 81 = 3^{4}, la disequazione si riscrive

\[ 3^{2x}>3^{4}. \]

La funzione y(t) = 3^{t} è crescente (la base 3 è maggiore di 1); di conseguenza è sufficiente confrontare gli esponenti:

\[ 2x>4 \iff x>2. \]

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{S=(2,+\infty).}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[ 3^{2x + 2} < \frac{1}{3}. \]

Svolgimento.

Siccome \displaystyle\frac{1}{3}=3^{-1}, la disequazione diventa

\[ 3^{2x+2}<3^{-1}. \]

La funzione y(t)=3^{t} è crescente, poiché la base 3 è maggiore di 1; pertanto si possono confrontare direttamente gli esponenti:

\[ 2x+2<-1 \iff 2x<-3 \iff x<-\frac{3}{2}. \]

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\infty,-\frac{3}{2}\right ) }\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[ \left( \frac{2}{5} \right)^{x+3} < \left( \frac{5}{2} \right)^{x-2}. \]

Svolgimento.

Osserviamo che \displaystyle\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}; di conseguenza il secondo membro può essere scritto con la stessa base del primo:

\[ \left(\frac52\right)^{\,x-2}=\left(\frac25\right)^{-(x-2)}=\left(\frac25\right)^{\,2-x}. \]

La disequazione diventa perciò

\[ \left(\frac25\right)^{x+3}\;<\;\left(\frac25\right)^{\,2-x}. \]

Poiché la base \dfrac25 è minore di 1, la funzione y(t)=\bigl(\tfrac25\bigr)^{t} è decrescente; quindi, per preservare il verso della disequazione, bisogna cambiare segno al confronto fra gli esponenti:

\[ x+3 \;>\; 2-x \iff 2x>-1 \iff x>\!-\frac12. \]

L’insieme delle soluzioni è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\frac{1}{2},+\infty \right ). }\]


 
 

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[ 2 \cdot 3^{2x - 1} + 9^{x + 1} - 3^{2x + 1} \leq \frac{60}{\sqrt{3}}. \]

Svolgimento.

Scriviamo ogni potenza con base 3: \;9^{x+1}=(3^{2})^{x+1}=3^{2x+2}. Il primo membro diventa dunque

\[ 2\cdot 3^{2x-1}+3^{2x+2}-3^{2x+1} =3^{2x-1}\bigl[\,2+3^{3}-3^{2}\bigr] =3^{2x-1}\bigl(2+27-9\bigr) =20\;3^{2x-1}. \]

Il secondo membro si semplifica osservando che \displaystyle\frac{60}{\sqrt3}=60\cdot\frac{\sqrt3}{3}=20\sqrt3=20\cdot 3^{1/2}. La disequazione si riduce a

\[ 20\cdot 3^{2x-1}\;\le\;20\cdot 3^{1/2}\quad\Longrightarrow\quad 3^{2x-1}\;\le\;3^{1/2}. \]

Poiché la funzione y=3^{t} è crescente (la base 3 è maggiore di 1), si possono confrontare direttamente gli esponenti:

\[ 2x-1\;\le\;\frac12 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x\;\le\;\frac32 \;\;\Longrightarrow\;\; x\;\le\;\frac34. \]

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\infty,-\frac{3}{4}\right ]. }\]


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione con radici ed esponenziali:

\[ 17 \cdot \sqrt{2^{x+1}} > 34 \cdot \sqrt{4^{x - 3}}. \]

Svolgimento.

Poiché il coefficiente 17 è positivo, possiamo dividere entrambi i membri per 17: \sqrt{2^{x+1}}>2\,\sqrt{4^{x-3}}. Sfruttando le proprietà delle potenze si ottiene

\[ \sqrt{2^{x+1}}=2^{\frac{x+1}{2}}, \qquad \sqrt{4^{x-3}}=\bigl(2^{2}\bigr)^{\frac{x-3}{2}}=2^{x-3}, \]

da cui la disequazione diventa

\[ 2^{\frac{x+1}{2}} > 2\cdot 2^{x-3}=2^{x-2}. \]

Con base 2>1 la funzione esponenziale è crescente, quindi basta confrontare gli esponenti:

\[ \frac{x+1}{2} > x-2 \iff x+1 > 2x-4 \iff -x +5>0 \iff x<5. \]

Non esistono ulteriori restrizioni di dominio (le radici di potenze di 2 e 4 sono sempre definite e positive); di conseguenza la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,5). }\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione fratta con esponenziali:

\[ \displaystyle\frac{e^x \cdot \left( \dfrac{1}{e} \right)^{-1} - e^x}{e^{5x} - 1} \leq 0. \]

Svolgimento.

Osserviamo innanzitutto che

\[ \Bigl(\tfrac1e\Bigr)^{-1}=e, \qquad\Longrightarrow\qquad e^{x}\!\cdot\!\Bigl(\tfrac1e\Bigr)^{-1}-e^{x} =e^{x}\,e-e^{x}=e^{x}(e-1). \]

La disequazione diventa pertanto

\[ \frac{e^{x}(e-1)}{e^{5x}-1}\le 0. \]

Poiché e>1 risulta e-1>0 e inoltre e^{x}>0\;\forall x\in\mathbb{R}; di conseguenza il segno dell’espressione è determinato unicamente dal denominatore:

\[ e^{5x}-1<0 \iff e^{5x}<1 \iff 5x<0 \iff x<0. \]

L’insieme delle soluzioni è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{(-\infty,0). }\]


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

\[ \left| \frac{4^{-x}}{2^{x+2} \cdot 2^6} \right| < 1. \]

Svolgimento.

Numeratore e denominatore della frazione sono strettamente positivi, quindi il modulo è ridondante. Il rapporto è dunque minore di 1 se e solo se il numeratore è minore del denominatore. La disequazione è equivalente cioè a

\[ 4^{-x} < 2^{x+2} \cdot 2^6 \iff 2^{-2x} < 2^{x+8} \iff -2x < x+8, \]

dove nella prima equivalenza abbiamo scritto 4=2^2 e applicato le proprietà delle potenze, mentre nella seconda equivalenza abbiamo sfruttato il fatto che la funzione esponenziale di base 2 è strettamente crescente. Risolvendo rispetto a x si ottiene quindi la soluzione

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left ( -\frac{8}{3}, +\infty \right ). }\]


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

\[ \left| \frac{\sqrt{3^{6x} \cdot 3^2}}{3^7} \right| < |-3^x|. \]

Svolgimento.

Poiché 3^x>0, si ha |-3^x|=3^x. Dato che tutte le potenze di 3 sono positive, possiamo eliminare anche il valore assoluto al primo membro, moltiplicare la disequazione per 3^7 e ottenere

\[ \sqrt{3^{6x}\cdot 3^2}< 3^x \cdot 3^7 \iff 3^{3x+1}< 3^{x+7} \iff 3x+1<x+7 \iff x<3, \]

dove al primo passaggio abbiamo scritto la radice come elevamento a potenza di esponente \frac{1}{2} e usato le proprietà delle potenze, mentre al secondo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che la funzione esponenziale di base 3 è strettamente crescente. La soluzione è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{S= \left (-\infty, 3 \right ). }\]