Esponenziali: dominio, proprietà ed esercizi svolti passo passo

Questo articolo contiene alcuni esercizi sul calcolo del dominio di una funzione esponenziale, ideati per studenti del liceo, per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica e matematica, oppure per chi desidera ripassare le basi.

Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

L’esponenziale , con base ed esponente reale è definito se sono verificate le seguenti condizioni:

1. La base deve essere positiva. Basi negative condurrebbero a incongruenze già con esponenti razionali. La base nulla dà luogo ad espressioni non definite nel caso di esponente negativo o nullo.
2. L’esponente è un qualsiasi numero reale.

Da tali semplici condizioni segue che una qualsiasi espressione esponenziale risulta ben definita se e solo se la base è positiva e l’esponente è esso stesso ben definito.

Concludiamo ricordando che per ogni e per ogni .

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione esponenziale dobbiamo analizzare l’esponente della base e farne il dominio. L’esponente è

quindi un radicale con indice pari, pertanto l’argomento, che è un polinomio, deve essere maggiore o uguale a zero

Dunque

La funzione data è un’irrazionale di indice pari di una potenza. Una funzione irrazionale con indice pari deve avere argomento maggiore o uguale di zero, quindi

vera per qualunque . Dunque

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione esponenziale dobbiamo analizzare l’esponente e capire quando esso risulta ben definito. L’esponente è

quindi il radicando deve essere maggiore o uguale a zero

Concludiamo che il dominio della funzione richiesta è