Il trinomio particolare

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Sommario

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In questo articolo presentiamo la tecnica di scomposizione di un trinomio di secondo grado, detta appunto trinomio particolare o speciale. Essa si basa sulla determinazione di due numeri la cui somma e prodotto siano legati ai coefficienti numerici del trinomio. Mostriamo inoltre delle applicazioni ed esercizi svolti.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi.

Introduzione

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La scomposizione dei polinomi di secondo grado gioca un ruolo cruciale nell’algebra. Scomporre un polinomio in fattori è infatti un passo essenziale (in realtà equivalente) per la risoluzione di equazioni e disequazioni che lo coinvolgono. La tecnica del cosiddetto trinomio particolare o speciale raggiunge l’obiettivo di scomporre un polinomio di secondo grado mediante la ricerca di due numeri la cui somma e il cui prodotto siano legati ai cofficienti del polinomio.

In questo articolo consideriamo trinomi di secondo grado nella variabile $x$ , la cui forma generale è la seguente

$ax^2+bx+c,$

dove i coefficienti $a,b,c$ sono numeri reali e $a \neq 0$ (altrimenti il polinomio sarebbe di primo grado o grado $0$ ).

Il caso $a=1$

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Consideriamo il polinomio

$x^2+5x+6$

dove quindi $a=1$ , $b=5$ e $c=6$ , e tentiamo di scomporlo nel prodotto di due binomi di primo grado. In altre parole vogliamo ottenere una scrittura

$x^2+5x+6= (x-x_1)(x-x_2),$

con $x_1$ e $x_2$ due numeri reali. Come si può fare? Per rispondere, determiniamo come sono legati questi numeri $x_1$ e $x_2$ ai coefficienti $a=1$ , $b=5$ e $c=6$ del polinomio. Svolgiamo il prodotto al secondo membro e otteniamo che deve valere

$x^2+5x+6= x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1x_2 = x^2 -(x_1+x_2)x + (x_1x_2).$

Poiché i polinomi $x^2+5x+6$ e $x^2 -(x_1+x_2)x + (x_1x_2)$ devono essere uguali, i loro coefficienti devono essere uguali.

$\quad$

Il coefficiente di secondo grado è in entrambi i casi pari a $1$ .

Il coefficiente di primo grado grado è in un caso pari a $5$ e nell’altro è pari a $-(x_1+x_2)$ . Ne segue che deve valere
$x_1+x_2=-5.$

Il termine noto in un caso è $6$ , nell’altro è il prodotto $x_1x_2$ . Quindi deve valere
$x_1\cdot x_2=6.$

Per completare la scomposizione occorre quindi determinare due numeri $x_1$ e $x_2$ la cui somma sia pari a $-5$ , ossia l’opposto del termine di primo grado, e il cui prodotto deve essere pari a $6$ , ossia al termine noto. Ma due numeri siffatti si individuano facilmente: sono

$x_1=-2, \qquad x_2=-3.$

Dunque possiamo concludere

$x^2+5x+6 = (x-x_1)(x-x_2)=(x+2)(x+3).$

Ovviamente tutto funziona allo stesso modo con un coefficiente di primo grado generico $b$ e un termine noto generico $c$ :

$\quad$

Per scomporre $x^2+bx+c$ nel prodotto $(x-x_1)(x-x_2)$ occorre determinare due numeri $x_1$ e $x_2$ la cui somma sia pari all’opposto del termine di primo grado $b$ e il cui prodotto sia pari al termine noto $c$ . In formule:

$x^2+bx+c= (x-x_1)(x-x_2) \quad \text{se e solo se} \quad \begin{cases} x_1+x_2=-b \\ x_1 \cdot x_2= c. \end{cases}$

Il caso di $a$ generico

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Con una piccola variante si può affrontare lo stesso problema anche quando il coefficiente di secondo grado è diverso da $1$ . Consideriamo ad esempio il polinomio

$2x^2+7x+3$

e tentiamo di scomporlo come prodotto di due binomi. Ovviamente in tal caso non è possibile pensare di ottenere il prodotto $(x-x_1)(x-x_2)$ perché altrimenti il termine di secondo grado sarebbe pari a $x^2$ , che è diverso da $2x^2$ . Si possono però modificare i due binomi cercando di ottenere una scrittura come quella che segue:

$2x^2+7x+3 = (2x - x_1)\left ( x - \frac{x_2}{2}\right ),$

in cui abbiamo modificato il termine di primo grado nel primo binomio in $2x$ (così da ottenere nel prodotto $2x^2$ ) e abbiamo richiesto che il termine noto del secondo binomio sia del tipo $\frac{x_2}{2}$ .¹ Nuovamente, affinché tale uguaglianza sia valida, deve esserlo svolgendo i prodotti al secondo membro e uguagliando i coefficienti ottenuti:

$2x^2+7x+3 = 2x^2 - x_2x - x_1 x + \frac{x_1x_2}{2} = 2x^2 - (x_1+x_2)x + \frac{x_1x_2}{2}.$

Affinché il primo e l’ultimo membro siano uguali deve quindi accadere che

$7=-(x_1+x_2) \quad \text{e} \quad 3= \frac{x_1x_2}{2}.$

Moltiplicando per $2$ la seconda equazione, si ottiene

$x_1+x_2=-7, \qquad x_1\cdot x_2=2 \cdot 3.$

Due numeri siffatti sono facilmente ottenibili: $x_1=-1$ e $x_2=-3$ . Quindi il polinomio si scompone come

$2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3).$

In generale, cercando di scomporre il polinomio $ax^2+bx+c$ come

$ax^2+bx+c = (ax-x_1) \left ( x - \frac{x_2}{a}\right )$

deve aversi

$ax^2+bx+c = ax^2- (x_1+x_2)x + \frac{x_1 \cdot x_2}{a}$

e quindi, uguagliando i coefficienti corrispondenti,

$b= -(x_1+x_2),\qquad ac= x_1x_2.$

Riassumendo:

Il polinomio $ax^2+bx+c$ si scompone come $(ax-x_1) \left ( x - \frac{x_2}{a}\right )$ se e solo se

(1) $\begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{b= -(x_1+x_2),\qquad ac= x_1x_2. } \end{equation*}$

Il lettore può provare una certa confusione al riguardo di queste scelte, ma tenga presente che è lecito cercare una scomposizione del polinomio in questa forma. Vedremo subito che la scelta si giustifica perché tale strada è conveniente. ↩

Applicazioni

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Come già detto, la scomposizione dei polinomi ha molteplici applicazioni pratiche, che esaminiamo tramite alcuni esempi.

Esempio 3.1. Risolviamo l’equazione di secondo grado

(2) $\begin{equation*} 2x^2-7x+6=0, \end{equation*}$

ovvero cerchiamo i numeri reali che, sostituiti alla $x$ , rendono il polinomio uguale a $0$ .

Un metodo sarebbe usare la formula risolutiva, ma vogliamo illustrare l’utilità della tecnica di scomposizione vista precedentemente. Infatti, volendo scomporre il polinomio, occorre determinare due numeri $x_1$ e $x_2$ tali che

$x_1+x_2=-(-7)=7, \qquad x_1 \cdot x_2= 2 \cdot 6 = 12.$

È facile trovare questi numeri: $x_1=3$ e $x_2=4$ . Dunque il polinomio si scompone come

$2x^2-7x+6 = (2x - 3)\left (x- 2\right )$

e quindi l’equazione (2) è equivalente a determinare i valori di $x$ per cui

$(2x - 3)\cdot \left (x- 2\right )=0.$

In questa forma il problema è estremamente più semplice, perché un prodotto si annulla se e solo se si annulla almeno uno dei suoi fattori. Quindi l’equazione è equivalente alle condizioni

$2x-3=0 \quad \text{oppure} \quad x-2=0,$

ovvero

$x= \frac{3}{2} \quad \text{oppure} \quad x=2.$

Un’altra applicazione correlata è lo studio del segno di un polinomio, ovvero la risoluzione di disequazioni di secondo grado.

Esempio 3.2. Risolviamo la disequazione

(3) $\begin{equation*} x^2+5x-24 >0, \end{equation*}$

ossia determiniamo quali numeri reali, sostituiti alla $x$ , rendono positiva l’espressione data dal polinomio.

Anche questo problema può essere risolto mediante l’applicazione di un’apposita formula, ma preferiamo illustrare una soluzione che usi la scomposizione. Infatti, con la tecnica vista in precedenza, per scomporre il polinomio dobbiamo determinare due numeri $x_1$ e $x_2$ tali che

$x_1+x_2=-5, \qquad x_1\cdot x_2=-24.$

Osserviamo che $x_1=3$ e $x_2=-8$ risolvono il problema, e quindi la disequazione è equivalente a

$(x-3)(x+8)>0.$

Anche in questo caso, il problema ne risulta notevolmente semplificato. Infatti il segno del prodotto di due fattori è automaticamente determinato dal segno di ciascun fattore, mediante la regola dei segni. Infatti, affinché un prodotto di due fattori sia strettamente positivo, o entrambi i fattori sono positivi, oppure sono entrambi strettamente negativi. In formule

$(x-3)(x+8)>0 \qquad \iff \qquad \Big( x-3>0 \text{ e } x+8>0 \Big) \quad \text{oppure} \quad \Big( x-3<0 \text{ e } x+8<0 \Big).$

Osserviamo che:

$\quad$

Il fattore $x-3$ è positivo per $x>3$ ed è negativo per $x< 3$ ;

Il fattore $x+8$ è positivo per $x>-8$ ed è negativo per $x<-8$ .

$\quad$

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Figura 1: segno dei fattori $x-3$ e $x+8$ e segno del prodotto mediante la regola dei segni. In verde gli intervalli in cui il polinomio ha segno positivo, mentre in rosso sono evidenziati gli intervalli in cui il termine ha segno negativo.

$\quad$

Ne segue che, affinché $x-3$ e $x+8$ siano entrambi positivi, deve valere $x>3$ . Invece, affinché $x-3$ e $x+8$ siano entrambi negativi, deve valere $x<-8$ . Si veda anche l’illustrazione del procedimento in figura 1. In definitiva, la disequazione ha soluzione

$x<-8 \,\text{ oppure }\, x>3.$

Esercizi

$\quad$

Esercizio 4.1. Scomporre il polinomio

$x^2+13x+40.$

Svolgimento.

Occorre determinare due numeri la cui somma sia pari a $-13$ e il cui prodotto sia $40$ . Osserviamo che $-8$ e $-5$ soddisfano tali requisiti, quindi il polinomio si scompone come

$\boxcolorato{analisi}{x^2+13x+40= (x+8)(x+5). }$

Esercizio 4.2. Scomporre il polinomio

$5x^2-11x-12.$

Svolgimento.

Secondo la tecnica del trinomio particolare nel caso in cui il coefficiente di secondo grado sia diverso da $1$ , occorre trovare due numeri la cui somma sia pari a $-(-11)=11$ e il cui prodotto sia $-12\cdot 5=-60$ . Le scelte $x_2=-4$ e $x_1=15$ sono adeguate, e quindi il polinomio si scompone come

$5x^2-11x-12= (5x+4)(x-3).$

Esercizio 4.3. Risolvere l’equazione

$2x^2-x-15=0.$

Svolgimento.

Scomponiamo il polinomio, cercando due numeri la cui somma sia pari a $1$ e il cui prodotto sia pari a $-2\cdot 15=-30$ . Si vede subito che le soluzioni sono $x_1=-5$ e $x_2=6$ , per cui l’equazione è equivalente a

$(2x+5)(x-3)=0,$

che ha soluzioni

$x = -\frac{5}{2}, \qquad x=3.$

Esercizio 4.4. Studiamo il segno del polinomio

$3x^2+2x-1.$

Svolgimento.

Con la tecnica oggetto dell’articolo, per scomporre il polinomio cerchiamo due numeri la cui somma sia pari a $-2$ e il cui prodotto sia pari a $-3$ . Le scelte sono i numeri $-3$ e $1$ , per cui il polinomio si scompone come

$3x^2+2x-1 = (3x-1)(x+1).$