Raccoglimento a fattore totale

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Sommario

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In questo articolo illustriamo la tecnica di scomposizione dei polinomi detta raccoglimento totale, che consiste nell’individuare un fattore comune ai monomi che formano un polinomio e applicare la proprietà distributiva delle operazioni. Dopo averla introdotta e discussa con esempi commentati, presentiamo una procedura generale per applicarla e alcuni errori ricorrenti. Proponiamo infine degli esercizi mirati corredati di risultati.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.

Introduzione

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La scomposizione dei polinomi è uno strumento fondamentale dell’algebra elementare: saper scrivere un polinomio $P$ come prodotto di fattori “più semplici” è essenziale per risolvere l’equazione $P=0$ , in quanto un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei suoi fattori vale $0$ .

In questo breve articolo esaminiamo la tecnica del raccoglimento a fattor comune o raccoglimento totale, che si applica quando tutti i monomi che costituiscono il polinomio possiedono un fattore in comune. Ad esempio, per il polinomio

$P(x,y,z)= 4xy + 8x^2 + 6x^3z,$

ogni addendo è divisibile per il fattore $2x$ , infatti

$4xy= 2x \cdot 2y, \qquad 8x^2 = 2x \cdot 4x, \qquad 6x^3z = 2x \cdot 3x^2z.$

Quindi si può scrivere il polinomio come

$\begin{equation*} P(x,y,z) = 2x \cdot 2y + 2x \cdot 4x + 2x \cdot 3x^2z = 2x \cdot (2y + 4x + 3x^2z), \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo applicato la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Quest’ultima parte della riscrittura del polinomio è appunto detta raccoglimento a fattor comune o totale, in quanto il fattore $2x$ è presente in tutti gli addendi e lo si appunto raccoglie e isola come fattore in comune.

Analisi della tecnica

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Il punto centrale della tecnica consiste nell’individuare i fattori comuni a tutti i monomi per poi applicare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Come si sceglie il fattore comune da raccogliere?

Nell’esempio di sopra, anche il solo fattore $x$ è in comune tra i monomi, oppure il solo fattore $2$ . Raccogliendo ciascuno dei due, si ottengono le scritture

$P(x,y,z) = x \cdot (4y + 8x + 6x^2z) = 2 \cdot (2xy + 4x^2 + 3x^3z).$

Queste uguaglianze sono corrette, ma entrambi i polinomi nelle parentesi i monomi possiedono altri fattori in comune: il fattore $2$ nel polinomio $4y + 8x + 6x^2z$ e il fattore $x$ nel polinomio $2xy + 4x^2 + 3x^3z$ . In entrambi i casi si potrebbe quindi effettuare un nuovo raccoglimento, ottenendo così lo stesso risultato dell’equazione (1).

Questa analisi mostra che la strategia più conveniente è raccogliere il massimo comune divisore (MCD) dei monomi che formano il polinomio.

Il massimo comune divisore di alcuni monomi è un monomio dato dal prodotto del massimo comune divisore di tutti i coefficienti numerici e delle potenze di minimo esponente delle variabili comuni a tutti i monomi dati.

Esempi

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Vediamo subito alcuni esempi, prima di descrivere in generale i passi fondamentali da compiere.

Esempio 1. Scomponiamo il polinomio

$P(x)=12x^5-18x^3+6x^2.$

Osserviamo che il massimo comune divisore tra i coefficienti $12,18$ e $6$ è il numero $6$ . Il polinomio contiene la sola variabile $x$ e il minimo esponente con cui questa compare è $2$ . Pertanto il MCD dei monomi che formano il polinomio è $6x^2$ e quindi possiamo scrivere

$\begin{aligned} P(x) &= 12x^5-18x^3+6x^2 \\ &= 6x^2 \cdot 2x^3 - 6x^2\cdot 3x + 6x^2 \cdot 1 \\ & = 6x^2\cdot \bigl(2x^3-3x+1\bigr). \end{aligned}$

Esempio 2. Consideriamo il polinomio di due variabili

$P(x,y)=20x^4y+10xy^3+12x^2y^2+8x^2$

e cerchiamo di scomporlo mediante la tecnica del raccoglimento a fattor totale.

Il massimo comune divisore dei coefficienti $20,10,12,8$ è $2$ . Osserviamo subito che il monomio $8x^2$ non contiene il fattore $y$ e quindi la variabile $y$ non compare nel MCD dei monomi. La variabile $x$ compare con esponenti $4,1,2,2$ e quindi, visto che l’esponente minimo è $1$ , il MCD ricercato è $2x$ . Dunque possiamo scomporre il polinomio come

$\begin{aligned} P(x,y) &= 2x \cdot 10x^3y+ 2x \cdot 5y^3+ 2x \cdot 6xy^2+ 2x \cdot4x \\ &= 2x\bigl(10x^3y+5y^3+6xy^2+4x\bigr). \end{aligned}$

Esempio 3. Scomponiamo il polinomio $P(x)= -15x^3 - 9x^2$ con la tecnica del raccoglimento totale.

Il massimo comune divisore dei coefficienti numerici $15,9$ è $3$ , ma in questo caso può essere conveniente considerare il fattore $-3$ in quanto tutti i monomi hanno segno negativo. Per quanto riguarda invece la variabile $x$ , vediamo che essa compare con esponenti $3$ e $2$ ; quindi il MCD dei monomi è $-3x^2$ . Si può scrivere dunque

$P(x) = -3x^2\bigl(5x+3\bigr).$

Abbiamo evitato il passaggio intermedio per abituare il lettore in quanto nella pratica viene omesso, ma egli può ricostruirlo se lo ritiene opportuno.

Esempio 4. Consideriamo il polinomio

$P(x,z) = 3x^2z + 12x^4 - 2z^2 - 8x^2z.$

e proviamo a scomporlo con la tecnica del raccoglimento totale. Osserviamo che il massimo comune divisore dei coefficienti $3,12,-2,-8$ è $1$ ; inoltre, la variabile $x$ non compare nel monomio $-2z^2$ e la variabile $z$ non compare nel monomio $12x^4$ . Dobbiamo concludere che il MCD dei monomi è $1$ e quindi il polinomio non si può scomporre con la tecnica del raccoglimento totale. Tale polinomio si può scomporre con la tecnica del raccoglimento parziale.

Passi della tecnica

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Dagli esempi si può dedurre il seguente algoritmo generale.

Coefficiente numerico. Calcolare il massimo comune divisore dei coefficienti dei termini del polinomio.
Parte letterale. Per ciascuna variabile che compare in tutti i termini, scegliere l’esponente minimo. Se una variabile manca in anche un solo termine, non fa parte del fattore comune.
Massimo comune divisore. Il prodotto del coefficiente numerico e della parte letterale produce il MCD dei monomi. Scrivere ogni monomio come prodotto del MCD per il fattore rimanente.
Raccogliere. Applicare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma per scrivere il polinomio come prodotto tra il MCD e il polinomio residuale.
Verifica. Svolgere il prodotto finale ottenuto per verificare che sia uguale al polinomio di partenza.

Errori frequenti

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Errore	Correzione
Raccogliere un fattore non presente in tutti i termini.	Verificare che svolgendo il prodotto finale scritto si ottenga il polinomio originario.
Ignorare i segni.	Verificare che il prodotto dei segni del monomio raccolto e di quelli residuali coincida col segno dei monomi originari.
Non raccogliere la massima potenza comune di una variabile.	Verificare se il polinomio residuale possieda ulteriori fattori in comune.