Forme differenziali esatte: esercizi svolti

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Forme differenziali esatte – Esercizi

Sommario

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Esercizi sulle forme differenziali: verifica della chiusura e dell’esattezza e determinazione di un eventuale potenziale.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Elisa Bucci.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Verificare se la forma differenziale definita da

$\omega(x,y)=\dfrac{x}{x+y} \; dx + \dfrac{y}{x+y} \; dy=F_1\,dx+F_2\,dy$

è esatta nel suo insieme di definizione e in caso affermativo trovare un potenziale.

Svolgimento.

Il dominio di $\omega$ è $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Verifichiamo se $\omega$ è chiusa procedendo come segue: Formula con MathJax

$\displaystyle \left(\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \right) = -y(x+y)^{-2} + x(x+y)^{-2} \neq 0.$

Dal risultato appena ottenuto, deduciamo che $\omega$ non è chiusa e allora non è neanche esatta.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Verificare se la forma differenziale definita da

$\omega(x,y)= \dfrac{1+y}{1+x} \, dx + \ln(1+x) \, dy=F_1\, dx +F_2 \,dy$

è esatta nel suo insieme di definizione e in caso affermativo trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se la forma differenziale è chiusa. Calcolando le derivate miste

(1) $\begin{equation*} \dfrac{\partial F_2}{\partial x} = \dfrac{1}{x+1} \quad \mbox{e} \quad \dfrac{\partial F_1}{\partial y} = \dfrac{1}{x+1}, \end{equation*}$

osserviamo che sono uguali, quindi possiamo affermare che $\omega$ è chiusa. Il dominio di $\omega$ è

$\text{Dom} (\omega) = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \vert x>-1 \}$

che è un insieme semplicemente connesso; per il teorema di Poincaré, la forma $\omega$ è dunque esatta.

Un potenziale di $\omega$ soddisfa

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} = \dfrac{1+y}{1+x}\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = \ln(1+x). \end{cases} \end{equation*}$