Campi conservativi – Esercizi

Integrali di linea di seconda specie

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Campi conservativi – Esercizi

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Raccolta di esercizi sui campi conservativi: verifica e ricerca di un potenziale.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Elisa Bucci.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$\overline{F} = \left(y^4+y e^{xy}, 4xy^3+xe^{xy}\right) =\left(F_1,F_2\right).$

Verificare che $\overline{F}$ è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se $\bar{F}$ è irrotazionale:

$\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=4y^3+e^{xy}+xye^{xy}-4y^3-e^{xy}-xye^{xy}=0,$

dunque $\overline{F}$ è irrotazionale.

Inoltre osserviamo che il dominio di $\overline{F}$ è $\mathbb{R}^2$ che è un semplicemente connesso, dunque $\overline{F}$ è conservativo in $\mathbb{R}^2$ . Calcoliamo un potenziale $U$ ricorrendo alla definizione

$\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x} ,\dfrac{\partial U}{\partial y} \right),$

da cui

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} = y^4 + y \, e^{xy}\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = 4xy^3 + x \, e^{xy}. \end{cases} \end{equation*}$

Da (1) $_1$ abbiamo

$U(x,y)=y^4x+e^{xy}+c(y),$

mentre da (1) $_2$ otteniamo

$\dfrac{\partial U}{\partial y}=4xy^3 + x \, e^{xy}+c'(y)=4xy^3 + x \, e^{xy},$

da cui si ricava che

$\mbox{c}^\prime(y)=0 \iff c(y)=\mbox{cost}.$

Allora il potenziale è

$\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=y^4x+e^{xy}+\mbox{cost}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$\overline{F}=\left(2x+5y^3, 15xy^2+2y\right) =\left(F_1,F_2\right).$

Verificare che $\overline{F}$ è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se $\overline{F}$ è irrotazionale procedendo come segue:

$\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y}= (15y^2-15y^2)=0.$

Concludiamo quindi che $\overline{F}$ è irrotazionale. Osserviamo che il dominio di $\bar{F}$ è $\mathbb{R}^2$ che è un insieme semplicemente connesso, quindi $\bar{F}$ è conservativo.

Calcoliamo il potenziale di $\bar{F}$ ricorrendo alla definizione:

$\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x},\dfrac{\partial U}{\partial y}\right),$

da cui

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} =2x+5y^3\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = 15xy^2+2y. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla (2) $_1$ abbiamo

$U(x,y)=x^2+5xy^3+c(y)$

e, sostituendo $U(x,y)$ in (2) $_2$ , otteniamo

$15xy^2+c^\prime(y)= 15xy^2+2y \iff c^\prime(y)=2y \iff c(y)=y^2+\text{cost}.$

Allora il potenziale è dato da

$\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=x^2+5xy^3+y^2+\mbox{cost}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$\overline{F}=\left(\sin x, \cos y \right)=\left(F_1,F_2\right).$

Verificare che $\overline{F}$ è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se $\bar{F}$ è irrotazionale come segue:

$\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y}=\dfrac{\partial \left(\cos y\right)}{\partial x} - \dfrac{\partial\left( \sin x\right)}{\partial y}=0.$

Concludiamo che $\overline{F}$ è irrotazionale. Osserviamo che il dominio di $\bar{F}$ è $\mathbb{R}^2$ , che è un insieme semplicemente connesso; ne segue che $\overline{F}$ è conservativo.

Calcoliamo un potenziale $U(x,y)$ applicando la definzione:

$\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}, \dfrac{\partial U}{\partial y} \right),$

da cui

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} =\sin x\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = \cos y. \end{cases} \end{equation*}$

Da (3) $_1$ segue

$U(x,y)=-\cos x+c(y).$

Sostituiamo $U(x,y)$ nella seconda equazione, ottenendo

$c^\prime(y)=\cos y \iff c(y)=\sin y+\mbox{cost}.$

Si conclude che il potenziale è

$\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=-\cos x + \sin y+\mbox{cost}.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$\overline{F}=\left(x^2y+y^2+1, \dfrac{x^3}{3}+2xy\right)=\left(F_1,F_2\right).$

Verificare che $\overline{F}$ è conservativo e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Verifichiamo se $\bar{F}$ è irrotazionale come segue:

$\dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} = x^2+2y-\left(x^2+2y\right)=0.$

Quindi $\overline{F}$ è irrotazionale. Osserviamo che il dominio di $\bar{F}$ è $\mathbb{R}^2$ , che è un insieme semplicemente connesso; dunque $\overline{F}$ è conservativo.

Calcoliamo un potenziale $U(x,y)$ applicando la definzione:

$\overline{F} = \overline{\nabla} U = \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}, \dfrac{\partial U}{\partial y} \right).$

Allora si ha

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x} =x^2y+y^2+1\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y} = \dfrac{x^3}{3}+2xy. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla (4) $_1$ abbiamo

$U(x,y)=\dfrac{x^3}{3}y+xy^2+x+c(y).$

Sostituiamo $U(x,y)$ in (4) $_1$ , giungendo a

$\begin{aligned} \dfrac{\partial U}{\partial y}=\dfrac{\partial \left(\dfrac{x^3}{3}y+xy^2+x+c(y)\right)}{\partial y}=\dfrac{x^3}{3}+2xy +c^\prime(y)= \dfrac{x^3}{3}+2xy & \iff c^\prime(y)=0 \\ & \iff \mbox{c}(y)=\mbox{cost}. \end{aligned}$

Si conclude che il potenziale è

$\boxcolorato{analisi}{U(x,y)=\dfrac{x^3}{3}y+xy^2+x+\mbox{cost}.}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia

$\overline{F}=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2}, \dfrac{x}{x^2+y^2}\right)=\left(F_1,F_2\right).$

Verificare che $\overline{F}$ è conservativo nel suo dominio e in tal caso trovare un potenziale.

Svolgimento.

Il campo $\overline{F}$ non è conservativo, e lo si può mostrare esibendo una curva chiusa $\gamma$ regolare a tratti contenuta all’interno del dominio del campo vettoriale tale che

(5) $\begin{equation*} \int_{\gamma}\overline{F}\cdot d\vec{s}\neq0. \end{equation*}$

Il dominio del campo è ovviamente $D\coloneqq \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . Scegliamo la curva chiusa $\gamma$ avente come sostegno una circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine e percorsa in senso antiorario, rappresentata in figura 1, e parametrizzata come

(6) $\begin{equation*} \overline{\gamma}(\theta)=\left (\cos \theta ,\sin \theta\right)\quad \text{con} \qquad \forall \theta \in \left[0,2\pi\right]. \end{equation*}$

$\quad$

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Figura 1: la curva chiusa $\gamma$ lungo cui l’integrale del campo $F$ non è nullo.

$\quad$

Si ha

(7) $\begin{equation*} \overline{\gamma}^\prime\left(\theta\right)=\left(-\sin \theta,\cos \theta\right) \qquad \forall \theta \in [0,2\pi], \end{equation*}$

mentre la restrizione di $\overline{F}$ a $\overline{\gamma}\left(\theta\right)$ è

$\begin{aligned} \overline{F}\left(\overline{\gamma}(\theta)\right)&= \left(-\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta},\dfrac{\cos\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}\right)=\\ &=\left(-\sin\theta,\cos\theta\right) \qquad \forall \theta \in [0,2\pi]. \end{aligned}$

da cui¹

$\begin{aligned} \int_{\gamma}\overline{F}\cdot d\vec{s} & = \int_{\gamma}\overline{F}\left(\overline{\gamma}\left(t\right)\right)\cdot \overline{\gamma}^\prime\left(t\right)\, dt= \\ &=\int_{0}^{2\pi} \left(-\sin \theta,\cos \theta\right) \cdot \left(-\sin\theta,\cos \theta\right)\, d \theta=\\ &=\int_{0}^{2\pi}\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\, d \theta= \\ &= 2\pi\neq0. \end{aligned}$

Poiché esiste una curva chiusa tale lungo cui l’integrale di linea di seconda specie del campo vettoriale $\overline{F}$ è diverso da zero, $\overline{F}$ non è conservativo.

Dato un campo vettoriale

$\overline{F}:A \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$

tale che $\overline{F}(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$ e una curva regolare o regolare a tratti $\gamma$ definita in $A$ con parametrizzazione

$\overline{\gamma}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^3$

tale che $\overline{\gamma}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ , si definisce integrale di linea di seconda specie:

(8) $\begin{equation*} \int_\gamma \overline{F}\cdot d \overline{\ell}=\int_{a}^{b}\overline{F}\left(\overline{\gamma}(t) \right)\cdot \overline{\gamma} ^\prime (t)\, dt \end{equation*}$

↩

Svolgimento alternativo.

Un modo diverso per provare che $\overline{F}$ non è conservativo consiste nel dimostrare che non può esistere alcun potenziale $U$ di $F$ . Un tale potenziale dovrebbe infatti soddisfare

(9) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial U}{\partial x}=F_1=-\dfrac{y}{x^2+y^2}\\[11pt] \dfrac{\partial U}{\partial y}=F_2=\dfrac{x}{x^2+y^2}. \end{cases} \end{equation*}$

Da (9) $_2$ si ottiene

(10) $\begin{equation*} U(x,y)=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+c(x) \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon x \neq 0 \end{equation*}$

e, sostituendo quest’ultimo risultato in (9) $_1$ , si ha

(11) $\begin{equation*} -\frac{y}{x^2+y^2}+\dfrac{dc}{dx}(x)=-\dfrac{y}{x^2+y^2} \qquad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon x \neq 0, \end{equation*}$

che implica che $c(x)$ deve costante su ciascuno dei due aperti di $\mathbb{R}^2$

$A_+\coloneqq \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon x>0\}, \qquad A_-\coloneqq \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon x<0\}.$

Chiamando $c_+$ e $c_-$ i rispettivi valori assunti da $c$ , si conclude che un ipotetico potenziale $U$ di $F$ dovrebbe avere la forma

(12) $\begin{equation*} U(x,y)= \begin{cases} \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + c_+ & \text{se } x>0 \\[11pt] \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + c_- & \text{se } x<0. \end{cases} \end{equation*}$

Affermiamo ora che, per nessuna scelta di $c_+$ e $c_-$ , tale espressione di $U$ può essere estesa con continuità all’intero dominio $\mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}$ di $\overline{F}$ . Infatti, affinché $U$ si possa estendere con continuità sulla retta $\{(0,y)\colon y>0\}$ , dovrebbe aversi

$c_-=\pi+c_+.$

Invece, affinché $U$ si possa estendere con continuità sulla retta $\{(0,y)\colon y>0\}$ , dovrebbe aversi

$c_- = -\pi+c_+.$

Queste due condizioni sono incompatibili, pertanto concludiamo che non esiste alcuna funzione continua $U$ nell’insieme $\mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}$ che soddisfi (12), ovvero che non esiste alcun potenziale $U$ di $\overline{F}$ .

Osservazione.

Il campo $\overline{F}$ , pur non essendo conservativo, è irrotazionale. Ciò si verifica calcolando le derivate miste e osservando che la loro differenza è pari a zero:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial F_2 }{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}&=\dfrac{x^2+y^2-x\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}-\left(-\dfrac{x^2+y^2-y\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right)=\\ &=\dfrac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)}-\dfrac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=0. \end{aligned}$

Notando che il dominio $D=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ di $F$ non è semplicemente connesso, tale esempio mostra che l’ipotesi di semplice connessione del dominio è essenziale per la validità del teorema di Poincaré.

Riferimenti bibliografici

[1] Abate, M., Geometria, McGraw-Hill (1996).

[2] Pallino, P., Titolo del libro, Editore (1900).

[3] Rossi, M. & Verdi, G., Titolo del libro, Editore (1900).

[4] Qui Si Risolve, Funzioni elementari – Volume 1.

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