Test di ingresso per Oxford

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Quesito 2007-A Siano $r$ ed $s$ dei numeri interi. In quali casi la quantità

$K = \frac{6^{r+s}\times12^{r-s}}{8^r\times9^{r+2s}}$

è un numero intero?

$\fbox{a}$ $r+s \leq 0$ .

$\fbox{b}$ $s \leq 0$ .

$\fbox{c}$ $r \leq 0$ .

$\fbox{d}$ $r \geq s$ .

Svolgimento.

Ricordando le proprietà delle potenze, si ha:

$\begin{aligned} K = {} & \frac{6^{r+s}\times12^{r-s}}{8^r\times9^{r+2s}} = \\[5pt] = {} & \frac{(2^{r+s}\times3^{r+s})\times(2^{2r-2s}\times3^{r-s})}{2^{3r}\times3^{2r+4s}} = \\[5pt] = {} & 2^{r+s+2r-2s-3r}\times3^{r+s+r-s-2r-4s} = \\[5pt] = {} & 2^{-s}\times3^{-4s}. \end{aligned}$

Se $s \leq 0$ , i due esponenti sono entrambi numeri non negativi, per cui $K$ è un numero intero. Se $s > 0$ , invece, $K$ è una frazione (non apparente).

La risposta corretta è dunque la $\fbox{b}$ .

Quesito 2007-B Qual è il valore massimo assunto dalla funzione

$f(x) = \left[3\sin^2(10x+11)-7\right]^2$

al variare di $x \in \mathbb{R}$ ?

$\fbox{a}$ $-9$ .

$\fbox{b}$ $16$ .

$\fbox{c}$ $49$ .

$\fbox{d}$ $100$ .

Svolgimento.

Per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ , si ha $0 \leq \sin^2(\alpha) \leq 1$ , e quindi $0 \leq 3\sin^2(\alpha) \leq 3$ e infine $-7 \leq 3\sin^2(\alpha)-7 \leq -4$ . Elevando al quadrato, e tenendo conto dei segni, si ha allora $16 \leq [\sin^2(\alpha)-7]^2 \leq 49$ .

Il massimo della funzione $f$ è quindi 49, che viene raggiunto per quei valori di $x$ tali che $\sin(10x+11) = 0$ .

La risposta corretta è dunque la $\fbox{c}$ .

Quesito 2007-C Quante soluzioni ha l’equazione

$7\sin(x) + 2\cos^2(x) = 5$

nell’intervallo $0 \leq x < 2\pi$ ?

$\fbox{a}$ 1.

$\fbox{b}$ 2.

$\fbox{c}$ 3.

$\fbox{d}$ 4.

Svolgimento.

Ricordando che $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$ , l’equazione proposta è equivalente a:

$2\sin^2(x) - 7\sin(x) + 3 = 0.$

Posto $\sin(x) = t$ , si tratta quindi di risolvere l’equazione algebrica di secondo grado $2t^2-7t+3 = 0$ , che ha soluzioni $t = 3$ e $t = 1/2$ . Tornando ad $x$ , dato che $\sin(x) \leq 1$ , la prima radice si deve scartare, e le uniche soluzioni valide corrispondono a $\sin(x) = 1/2$ . Restringendosi all’intervallo $[0,2\pi)$ si trova $x = \pi/6$ e $x = 5\pi/6$ .

La risposta corretta è dunque la $\fbox{b}$ .

Quesito 2007-D Quali dei punti che giace sulla circonferenza $C_1$ di equazione

$(x-5)^2+(y-4)^2 = 4$

risulta più vicino alla circonferenza $C_2$ di equazione

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1?$

$\fbox{a}$ $\left(\dfrac{17}{5},\, \dfrac{14}{5}\right)$ .

$\fbox{b}$ $(3,\,4)$ .

$\fbox{c}$ $(5,\,2)$ .

$\fbox{d}$ $\left(\dfrac{19}{5},\,\dfrac{12}{5}\right)$ .

Svolgimento.

La circonferenza $C_1$ ha raggio $r_1 = 2$ e centro in $O_1 = (x_1,y_1) = (5,4)$ , mentre la circonferenza $C_2$ ha centro in $O_2 = (x_2,y_2) = (1,1)$ . La minima distanza di $C_1$ da $C_2$ viene raggiunta nel punto $P$ su $C_1$ che giace sul segmento $O_1O_2$ , che ha lunghezza:

$\overline{O_1O_2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} = 5.$

$\quad$

Figura 1.

$\quad$

Il punto $P$ , di coordinate $(x_P,y_P)$ , giace quindi sul segmento $O_1O_2$ , a distanza $r_1$ da $O_1$ . Sfruttando la similitudine dei triangoli $O_1O_2B$ e $O_1PA$ , possiamo scrivere:

$\begin{cases} \dfrac{\overline{PA}}{\overline{O_2B}} = \dfrac{\overline{PO_1}}{\overline{O_2O_1}}; \\[10pt] \dfrac{\overline{AO_1}}{\overline{BO_1}} = \dfrac{\overline{PO_1}}{\overline{O_2O_1}}; \end{cases} \implies \quad \begin{cases} \dfrac{x_1-x_P}{x_1-x_2} = \dfrac{r_1}{5}; \\[10pt] \dfrac{y_1-y_P}{y_1-y_2} = \dfrac{r_1}{5}; \end{cases} \implies\quad \begin{cases} x_P = \dfrac{17}{5}; \\[10pt] y_P = \dfrac{14}{5}. \\ \end{cases}$

La risposta corretta è dunque la $\fbox{a}$ .

Quesito 2007-E Sia $n$ un numero intero non negativo e $x \in \mathbb{R}$ . Si consideri la quantità

$K = (1-x)^n(2-x)^{2n}(3-x)^{3n}(4-x)^{4n}(5-x)^{5n}.$

$\fbox{a}$ $K$ è negativa quando $n > 5$ e $x < 5$ .

$\fbox{b}$ $K$ è negativa quando $n$ è dispari e $x > 5$ .

$\fbox{c}$ $K$ è negativa quando $n$ è multiplo di 3 e $x > 5$ .

$\fbox{d}$ $K$ è negativa quando $n$ è pari e $x < 5$ .

Svolgimento.

Cominciamo osservando che, se $n$ è pari, $K$ non può essere negativa perché tutti gli esponenti sono pari, per cui $K$ è il prodotto di 5 termini non negativi. Questo esclude immediatamente le risposte $\fbox{a}$ , $\fbox{c}$ e $\fbox{d}$ , in cui alcuni o tutti i valori di $n$ sono pari.

Per confermare che l’opzione rimanente è corretta, notiamo che, se $x > 5$ , tutti i termini tra parentesi nel prodotto che definisce $K$ sono negativi. Per $n$ dispari, elevando a potenza, tre dei fattori restano negativi e due diventano positivi, per cui il prodotto è nel complesso negativo.

Per completezza, notiamo che per $n$ dispari $K$ è negativa anche per $1 < x < 3$ con $x \ne 2$ .

La risposta corretta è dunque la $\fbox{b}$ .

Quesito 2007-F Quante soluzioni ha la seguente equazione?

$8^x+4 = 4^x + 2^{x+2}.$

$\quad$

$\fbox{a}$ Nessuna soluzione reale.

$\fbox{b}$ Una soluzione reale.

$\fbox{c}$ Due soluzioni reali.

$\fbox{d}$ Tre soluzioni reali.

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