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Continuità e differenziabilità per funzioni di due variabili – Esercizi

Continuità e differenziabilità

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Continuità e differenziabilità per funzioni di due variabili – Esercizi

 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi riguardanti la continuità, la derivabilità e la differenziabilità di funzioni reali di due variabili reali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Benedetto Leone Sirletti.

Revisori: Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
\mathbb{R}^2    Insieme delle coppie di numeri reali;
\|{v}\|    Norma (modulo) del vettore {v} \in \mathbb{R}^n
{a}\cdot{b}    Prodotto scalare standard tra i vettori {a},{b} \in \mathbb{R}^n;
\frac{\partial f}{\partial x},f_{x}    Derivata parziale, rispetto alla variabile x, della funzione f(x,y);
\frac{\partial f}{\partial v}, \partial_v f    Derivata direzionale, nella direzione v \in \mathbb{R}^n, della funzione f;
\nabla f(x_{0},y_{0})    Gradiente della funzione f(x,y) valutato nel punto (x_0,y_0);
{\mathcal{C}}^1(\Omega)    Classe delle funzioni derivabili con continuità in \Omega;
f_{\vert {E}}    Restrizione della funzione f all’insieme E.


 
 

Richiami di teoria

Introduzione.

In questa sezione vengono richiamate alcune definizioni fondamentali per lo studio della continuità e della differenziabilità di una funzione reale di due variabili reali. Forniamo solo le definizioni e gli enunciati dei teoremi, rimandando ai testi [2] e [1] per una trattazione più completa e rigorosa.

Limiti e continuità.

Definizione 1.1 (limite). Si considerino un sottoinsieme \Omega di \mathbb{R}^2, una funzione f\colon\Omega\to\mathbb{R} ed un punto (x_{0},y_{0}) di accumulazione1 per \Omega. Si dice che f tende a \ell \in\mathbb{R}\cup\lbrace +\infty,-\infty \rbrace per (x,y)\to(x_{0},y_{0}), e si scrive

(1) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=\ell, \end{equation*}

se, per ogni intorno \mathcal{I}\subseteq\mathbb{R} di \ell, esiste un intorno \mathcal{I}_{\delta}\subseteq\mathbb{R}^2 di (x_{0},y_{0}) tale che

(2) \begin{equation*} f(x,y)\in\mathcal{I},\quad\quad \forall x\in\mathcal{I}_{\delta}\cap\Omega \setminus \lbrace (x_{0},y_{0})\rbrace. \end{equation*}

\[\quad\]

Proprio come per le funzioni reali di una variabile reale, la definizione si può riformulare in termini di \varepsilon e \delta. A titolo esemplificativo, se \ell\in\mathbb{R} (cioè se il limite è finito) f tende a \ell per (x,y)\to(x_{0},y_{0}) se, comunque scelta una quantità \varepsilon>0, esiste \delta>0 tale che

(3) \begin{equation*} \left\vert f(x,y)-\ell\right\vert<\varepsilon,\quad\quad \forall (x,y)\in\Omega\setminus\lbrace(x_{0},y_{0})\rbrace\colon \| (x,y)-(x_{0},y_{0}) \|<\delta, \end{equation*}

dove con \| \cdot \|\colon\mathbb{R}^2\to [0,+\infty) si intende la norma euclidea in \mathbb{R}^2.

La definizione di limite per funzioni reali di due variabili reali è simile a quella data per funzioni reali di un’unica variabile reale; pertanto, molte definizioni e proprietà dei limiti continuano a valere inalterati nell’enunciato nel caso bidimensionale, come ad esempio:

\[\quad\]

  • il teorema di unicità del limite, secondo cui, se il limite di una funzione in un punto esiste, allora è unico.

    •  

  • il teorema del confronto, che enunciamo di seguito.

Teorema 1.2. Sia A \subseteq \mathbb{R}^2, sia (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2 un punto di accumulazione per A e siano f,g,h\colon A \to \mathbb{R} tre funzioni tali

(4) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{x \to (x_0,y_0)} h(x,y) = \ell \in \mathbb{R} \end{equation*}

Se esiste un intorno U di x_0 tale che

(5) \begin{equation*} f(x,y) \le g(x,y) \le h(x,y) \qquad \forall (x,y) \in U \cap A\setminus \left\{ (x_0,y_0) \right\}, \end{equation*}

allora

(6) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} g(x,y) = \ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Poiché per ogni funzione f si ha -|f| \leq f \leq |f|, dal teorema ?? si ha in particolare la seguente equivalenza:

(7) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=0 \iff \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} |f(x,y)|=0. \end{equation*}

Anche la definizione di funzione continua è del tutto analoga a quella per le funzioni di un’unica variabile reale.

Definizione 1.3 (continuità). Sia f\colon A \subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione e (x_{0},y_{0}) un punto di A. La funzione f si dice continua in (x_0,y_0) se esso è un punto isolato di A oppure, se esso è un punto di accumulazione per A e vale

(8) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0). \end{equation*}

\[\quad\]

Restrizione di una funzione ad una curva: primo teorema delle restrizioni

Il primo passo da fare nello studio di un limite è quello di dimostrare la sua esistenza o inesistenza. Il primo teorema delle restrizioni, si veda [1] e [6], è uno strumento importante a tal proposito.

Siano f\colon\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione e {r}\colon(a,b)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 un arco di curva di \mathbb{R}^2. La funzione composta g=f\circ{r}, che esiste se e solo se l’insieme immagine di \textbf{r} è contenuto in \Omega, definita da

(9) \begin{equation*} g(t)=f({r}(t)),\quad \forall t\in(a,b), \end{equation*}

si dice restrizione di f alla curva r ed è una funzione reale di una variabile reale.

Teorema 1.4. Sia f\colon\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione, si consideri un punto di accumulazione (x_{0},y_{0}) per \Omega e sia \ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)= \ell;

    2.  

  2. per ogni curva r \colon(0,1)\subseteq\mathbb{R}\to\Omega\setminus\lbrace(x_0,y_0)\rbrace tale che \displaystyle \lim_{t\to 0}{r}(t)=(x_0,y_0), vale

    (10) \begin{equation*} \lim_{t\to 0}f({r}(t))=\ell. \end{equation*}

\[\quad\]

Il teorema precedente ha alcune importanti conseguenze:

\[\quad\]

  • se (x_{0},y_{0}) è un punto di \Omega, ma esiste una curva r \colon(0,1)\subseteq\mathbb{R}\to\Omega\setminus\lbrace(x_0,y_0)\rbrace tale che \lim_{t\to 0}{r}(t)=(x_0,y_0) per cui

    (11) \begin{equation*} \lim_{t\to t_0 }f(\textbf{r}(t))\neq f(x_0,y_0), \end{equation*}

    allora f non è continua in (x_0,y_0).

    •  

  • se esistono due curve per le quali i limiti delle restrizioni sono diversi, allora il limite (1) non esiste.

    •  

  • se esiste una curva per la quale il limite della restrizione non esiste, si ha che il limite (1) non esiste.

Secondo teorema delle restrizioni

Risulta assai utile per la risoluzione degli esercizi anche il seguente risultato noto come secondo teorema delle restrizioni.

Teorema 1.5. Sia f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione, (x_0,y_0) un punto di accumulazione per \Omega e siano B_1 e B_2 sottoinsiemi di \Omega tali che B_1\cup B_2=\Omega. Sia inoltre (x_0,y_0) punto di accumulazione per B_1 e B_2 e sia \ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

\[\quad\]

  1. \displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \ell;

    2.  

  2. si ha

    (12) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f_{\vert {B_1}}(x,y)=\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f_{\vert {B_2}}(x,y)=\ell. \end{equation*}

   

  1. un punto (x_{0},y_{0}) è di accumulazione per un insieme \Omega se in ogni intorno circolare di tale punto esiste almeno un punto di \Omega diverso da (x_{0},y_{0}). Si noti che se x_0 è di accumulazione per \Omega, x_0 non deve necessariamente appartenere ad \Omega. ↩

Derivabilità e differenziabilità.

Definiamo il concetto di derivata di una funzione reale di due variabili reali. Per una funzione di questo tipo non si può applicare la definizione classica [3, definizione 1.3] perchè non ha senso definire il concetto di incremento per la coppia di variabili (x,y). Si può, però, far variare una variabile per volta e calcolare la corrispettiva derivata: se (x_{0},y_{0})\in \Omega è il punto in cui vogliamo derivare la funzione f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, si può considerare la restrizione f_{\vert {y=y_{0}}}(x,y)=f(x,y_{0}) alla retta di equazione y=y_{0}, che è una funzione reale della sola variabile x, e derivarla in x_{0}; oppure derivare in y_{0} la restrizione f_{\vert_{x=x_{0}}}(x,y)=f(x_{0},y) alla retta di equazione x=x_{0}. Ciò conduce alla definizione di derivata parziale di f.

Definizione 1.6 (derivata parziale, gradiente). La funzione f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} si dice derivabile in un punto (x_{0},y_{0}) del suo dominio se esistono finiti i limiti

(13) \begin{equation*} \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0}), \end{equation*}

(14) \begin{equation*} \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h)-f(x_{0},y_{0})}{h}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=f_{y}(x_{0},y_{0}). \end{equation*}

Le quantità in (13) e in (14) si dicono, rispettivamente, derivata parziale di f rispetto a x e a y, valutata in (x_{0},y_{0}). Il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f in (x_{0},y_{0}) si dice gradiente di f valutato in (x_{0},y_{0}) e si indica con il simbolo

(15) \begin{equation*} \nabla f(x_{0},y_{0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0); \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)=(f_{x}(x_0,y_0),f_{y}(x_0,y_0)). \end{equation*}

\[\quad\]

Una generalizzazione di tale concetto è costituita dalla nozione di derivata direzionale.

Definizione 1.7 (derivata direzionale). Sia v \in \mathbb{R}^2 e sia f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione. La derivata direzionale di f nella direzione v è il limite

(16) \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) = \partial_v f(x_{0},y_{0}) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\big( (x_0,y_0) + h v \big) - f(x_0,y_0)}{h}, \end{equation*}

qualora esso esista. Se \partial_v f(x_{0},y_{0}) è finita, allora f si dice derivabile nella direzione v.

\[\quad\]

Risulta chiaro che le derivate parziali di f coincidono con le sue derivate direzionali nelle direzioni dei vettori della base di \mathbb{R}^2: (1,0), (0,1).

Introduciamo ora il concetto di differenziabilità.

Definizione 1.8 (funzione differenziabile). Sia f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e sia (x_0,y_0) un punto di accumulazione per \Omega. Diremo che f è differenziabile in (x_0,y_0) se esiste un vettore (a,b)\in\mathbb{R}^2 tale che:

(17) \begin{equation*} \lim_{{(h,k)}\to{(0,0)}}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-(a,b)\cdot (h,k)}{\|(h,k)\|}=0, \end{equation*}

dove \|(h,k)\| = \sqrt{h^2+k^2}. Equivalentemente, f è differenziabile in (x_0,y_0) se

(18) \begin{equation*} f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=a\cdot h+b\cdot k+o(\| (a,b)\|) \qquad \text{per } \|(h,k)\|\to 0. \end{equation*}

\[\quad\]

La relazione (17) è equivalente a

(19) \begin{equation*} \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-a_0h-a_1k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0. \end{equation*}

Teorema 1.9. ([2, capitolo 3, sezione 31]). Sia f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e sia (x_0,y_0) un punto interno ad \Omega. Se f è differenziabile in (x_0,y_0), allora f è anche ivi continua e derivabile in tutte le direzioni e il vettore (a,b) che compare nella (17) coincide con il gradiente di f calcolato in (x_0,y_0):

(20) \begin{equation*} (a,b)=\nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)). \end{equation*}

Inoltre si ha

(21) \begin{equation*} \partial_v f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) \cdot v \qquad \forall v \in \mathbb{R}^2. \end{equation*}

\[\quad\]

Dunque f è differenziabile in (x_0,y_0) se e solo se essa è derivabile in tale punto e si ha

(22) \begin{equation*} \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0. \end{equation*}

Geometricamente, la seconda parte del teorema 1.9 afferma che se f è differenziabile in (x_0,y_0), allora le rette tangenti al grafico di f in (x_0,y_0) giacciono tutte sul piano individuato dalle rette tangenti nelle direzioni x e y, che viene detto piano tangente al grafico di f in (x_0,y_0).

In virtù del teorema 1.9, è sufficiente controllare la validità di (17) (o, equivalentemente, di (19)) per il solo vettore (a,b)=\nabla f(x_0,y_0). Il risultato precedente è assai importante perchè ci fornisce, per negazione, mezzi per dimostrare la non differenziabilità. Ne elenchiamo qualcuno.

\[\quad\]

  • Se f non è continua o derivabile in un punto (x_0,y_0), allora non è ivi differenziabile.

    •  

  • Se f non è derivabile in una direzione v \in \mathbb{R}^2 in un punto (x_0,y_0), allora essa non è differenziabile in tale punto.

    •  

  • Se esiste una direzione v \in \mathbb{R}^2 tale che \partial_v f(x_0,y_0) \neq \nabla f(x_0,y_0) \cdot v, allora f non è differenziabile in (x_0,y_0).

Introduciamo, infine, una condizione sufficiente per la differenziabilità:

Teorema 1.10. (del differenziale, [2, capitolo 3, sezione 29]).Sia f\colon \Omega\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} con \Omega aperto e sia (x_0,y_0) un punto di \Omega. Supponiamo che le derivate parziali di f esistano in un intorno di (x_0,y_0) e siano continue in (x_0,y_0). Allora f è differenziabile in (x_0,y_0). In particolare, se le derivate parziali esistono e sono continue in \Omega, allora f è differenziabile in tutti i punti di \Omega.

\[\quad\]

Una funzione le cui derivate parziali esistono e sono continue in un aperto \Omega si dice di classe \mathcal{C}^1 su \Omega e si scrive f\in\mathcal{C}^1(\Omega). Il secondo enunciato del teorema si può quindi riscrivere come:

(23) \begin{equation*} f\in\mathcal{C}^1(\Omega) \Rightarrow f\hspace{0.2cm}\text{è differenziabile in $\Omega$}. \end{equation*}

L’implicazione inversa, in generale, non vale. Un controesempio è dato dalla funzione f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definita da

(24) \begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}}\quad & \text{se $(x,y)\neq(0,0)$},\\[10pt] 0 & \text{se $(x,y)=(0,0)$}.\\ \end{cases} \end{equation*}

In (0,0) risulta

(25) \begin{equation*} f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}=0 \end{equation*}

e

(26) \begin{equation*} f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}=0. \end{equation*}

Il limite al primo membro in (22), nel nostro caso particolare e con (x_0,y_0)=(0,0), si riscrive come segue

(27) \begin{equation*} \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(h^2+k^2)\sin{\frac{1}{h^2+k^2}}}{\sqrt{h^2+k^2}}, \end{equation*}

e la differenziabilità per f in (0,0), cioè la realizzazione della condizione (22), è garantita dalla limitatezza della funzione seno e dal teorema del confronto 1.2, dato che

(28) \begin{equation*} 0\le\frac{(h^2+k^2)\left|\sin{\frac{1}{h^2+k^2}}\right|}{\sqrt{h^2+k^2}}=\sqrt{h^2+k^2}\left|\sin{\frac{1}{h^2+k^2}}\right|\le\sqrt{h^2+k^2}\to0,\quad \text{per}\,(h,k)\to(0,0). \end{equation*}

D’altra parte la derivata parziale f_x non è continua nell’origine, infatti, per (x,y)\neq(0,0) si ha

(29) \begin{equation*} f_x(x,y)=2x\sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-\dfrac{2x}{x^2+y^2}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}, \end{equation*}

e il limite

(30) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)}2x\sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}}-\dfrac{2x}{x^2+y^2}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}, \end{equation*}

non esiste (per vederlo basta utilizzare la curva di equazione y=x e il teorema 1.4). La condizione sufficiente per la differenziabilità presentata nel teorema 1.10 non è, dunque, necessaria.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità della funzione f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definita da

(31) \begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\arctan{(xy)}}{y}\quad & \text{se $y\neq0$},\\[10pt] 0 & \text{se $y=0$}.\\ \end{cases} \end{equation*}

Svolgimento.

La funzione f è continua in \mathbb{R}^2 \setminus \{(x,0) \colon x \in \mathbb{R}\} in quanto composizione e quoziente di funzioni continue in cui il denominatore non si annulla. Rimane da studiare la continuità nei punti del tipo (x_0,0) con x_0 \in \mathbb{R}. Fissiamo dunque un tale x_0 e, al fine di calcolare il limite di f in (x_0,0), consideriamo i due insiemi

(32) \begin{equation*} B_0=\{(x,y) \colon x = 0 \vee y = 0\}, \qquad B_1= \{(x,y) \colon x \in \mathbb{R},\,\, x \neq 0 \neq y\}. \end{equation*}

Si ha ovviamente B_0 \cup B_1 = \mathbb{R}^2 e l’idea è applicare il teorema 1.5 studiando separatamente i limiti di f in B_0,B_1. Osserviamo che, per definizione, f è identicamente nulla in B_0 e quindi

(33) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_{| B_0}(x,y) = 0. \end{equation*}

Poiché invece in B_1 si ha x \neq 0, si può dividere e moltiplicare per x l’espressione di f e ottenere

(34) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_{| B_1}(x,y) = \lim_{(x,y) \to (x_0,0)} \frac{\arctan(xy)}{xy} x = 1 \cdot x_0 = x_0. \end{equation*}

Da (33) e (34) e dal teorema 1.5, il limite di f in (x_0,0) esiste se e solo se x_0=0. Poiché in questo caso tale limite è nullo e si ha anche f(0,0)=0, f risulta continua in (0,0). Invece, f non è continua in (x_0,0) se x_0 \neq 0, in quanto in tali punti il limite di f non esiste.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità della funzione f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definita da

(35) \begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\sin{(xy)}}{x}\quad & \text{se $x\neq0$},\\[10pt] 0 & \text{se $x=0$}.\\ \end{cases} \end{equation*}

Svolgimento.

La funzione f è certamente continua in tutti i punti di \Omega=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2 \colon x\neq0\rbrace dato che, in tale insieme, risulta essere quoziente e composizione di funzioni continue in cui il denominatore è non nullo. Rimane da studiare la continuità nei punti del tipo (0,y_0) con y_0\in\mathbb{R}. Fissiamo dunque un tale y_0 e, al fine di calcolare il limite

(36) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(0,y_0)}f(x,y), \end{equation*}

consideriamo i due seguenti insiemi

(37) \begin{equation*} B_0=\{(x,y) \colon x = 0 \vee y = 0\}, \qquad B_1= \{(x,y) \colon x \in \mathbb{R},\,\, x \neq 0 \neq y\}. \end{equation*}

Studiamo separatamente i limiti di f in B_0 e in B_1. Dato che in B_1 si ha y\neq0, sfruttando il limite notevole del seno, risulta

(38) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to(0,y_{0})}f_{| B_1}(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,y_{0})}\frac{\sin(xy)}{x}=\lim_{(x,y)\to(0,y_{0})}\frac{\sin(xy)}{xy}\cdot y=1\cdot y_{0}=y_{0}. \end{equation*}

D’altra parte, essendo f identicamente nulla in B_0, è chiaro che

(39) \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f_{| B_0}(x,y) = 0. \end{equation*}

Dai limiti (38) e (39) e dal teorema 1.5 (si osservi che B_0\cup B_1=\mathbb{R}^2), il limite (36) esiste se, e solo se, y_0=0 e in tal caso esso coincide con f(0,0)=0. Si può concludere, quindi, affermando che l’insieme dei punti in cui f è continua è \Omega\cup\lbrace (0,0) \rbrace.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Studiare la continuità della funzione f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definita da

(40) \begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} \arctan(x)\,\sin\left(\dfrac{\left \vert y \right \vert}{x}\right)\quad & \text{se $x\neq0$},\\[10pt] 0 & \text{se $x=0$}.\\ \end{cases} \end{equation*}

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