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Equazione di Mescerskij: sistemi a massa variabile

Approfondimenti di Fisica

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In questo articolo presentiamo l’equazione di Mescerskij, un’applicazione del secondo principio della dinamica nel caso di sistemi a massa variabile. Più precisamente, essa descrive il moto di un sistema che espelle massa a una velocità possibilmente diversa dalla propria, come ad esempio avviene per gli aerei a reazione.

Dopo aver presentato il contesto fisico e la dimostrazione dell’equazione, si presentano alcune osservazioni su di essa.

 

Autori e revisori

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Autori e Revisori: Valerio Brunetti, Cesare Malagù, Davide Germani, Giuseppe Palaia, Nicola Fusco.


 

L’equazione di Mescerskij

Consideriamo un razzo, contenente un serbatorio di carburante. Assumiamo che, in un fissato sistema di riferimento inerziale, il razzo sia in moto con velocità dipendente dal tempo \vec{v}(t) e che esso stia espellendo dei gas di scarico, espulsi a una velocità pari \vec{v}_{g}(t) nel sistema inerziale fissato, che supponiamo una funzione continua di t. Aavvisiamo il lettore che in alcune discussioni su questo argomento, viene ipotizzato che la differenza \vec{v}(t)-\vec{v}_g(t) sia costante nel tempo. Tale assunzione non è necessaria ai fini della trattazione e quindi ne facciamo a meno. Assumiamo inoltre che il razzo e i gas espulsi siano soggetti a una forza esterna di risultante pari a \vec{F}(t).

Indicando con m(t) la massa del razzo e del carburante rimasto su di esso all’istante t, e assumendo che m sia una funzione derivabile con continuità (in particolare continua), ci proponiamo di determinare un’equazione per il moto del razzo. L’equazione di Mescerskij fornisce appunto tale relazione:

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ \vec{F}(t) = \frac{dm(t)}{dt}\big[\vec{v}(t) - \vec{v}_g(t)\big] + m(t)\frac{d\vec{v}(t)}{dt} \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

Dimostrazione dell'equazione di Mescerskij.

Al fine di dimostrare (1), considereremo uno stesso sistema fisico di massa costante M\coloneqq m(t), in due istanti t e t+h, con h>0. Al tempo t, il sistema è costituito dal razzo e dal carburante a bordo in tale istante, trascurando la massa espulsa nell’intervallo di tempo che precede l’istante t.

All’istante t+h, il sistema fisico ha la medesima massa M: esso è formato dal razzo e dal carburante rimasto a bordo, di massa m(t+h), unitamente ai gas espulsi nell’intervallo di tempo [t,t+h], di massa m(t)-m(t+h)=M-m(t+h).

Calcoliamo le quantità di moto \vec{P}(t) e \vec{P}(t+h) del sistema.

  • Nell’istante t, il razzo di massa m(t) si muove con velocità \vec{v}(t) e quindi la quantità di moto totale del sistema è

    \[ \vec{P}(t)= m(t)\vec{v}(t). \]

  • Consideriamo ora l’istante t+h: il razzo e il carburante rimasto a bordo hanno massa m(t+h) e velocità pari a \vec{v}(t+h). Per calcolare la quantità di moto dei gas espulsi, osserviamo che, nell’intervallo [t,t+h], è stata espulsa dal razzo una massa di gas pari a m(t)-m(t+h); poiché la velocità \vec{v}_g a cui vengono espulsi i gas non è necessariamente costante nel tempo, la quantità di moto di questa massa espulsa è pari all’integrale

    \[ -\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds, \]

    in quanto somma di tutti i contributi infinitesimi di massa

    \[ \frac{d\big(M-m(s)\big)}{ds}ds=-\frac{dm(s)}{ds}(s)ds, \]

    (la massa dei gas è pari a M-m(s)), ciascuno espulso con velocità \vec{v}_g(s).

    Alternativamente, poiché in seguito dovremo calcolare un limite per h \to 0, si può supporre h sufficientemente piccolo. Grazie a tale assunzione e al fatto che \vec{v}_g è una funzione continua, la velocità con cui sono stati espulsi i gas nell’intervallo di tempo [t,t+h] può essere approssimata col valore costante \vec{v}_g(t) (o \vec{v}_g(s), dove s è un qualunque istante in [t,t+h]). Dunque la quantità di moto dei gas espulsi può essere approssimata col valore \big[m(t)-m(t+h) \big] \cdot \vec{v}_g(t). Lasciando al lettore la possibilità di verificare che questo secondo approccio condurrebbe ai medesimi risultati, concludiamo che la quantità di moto totale del sistema al tempo t+h è

    \[ \vec{P}(t+h) = m(t+h)\vec{v}(t+h) -\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds. \]

La differenza tra le quantità di moto è quindi

\[ \begin{aligned} \vec{P}(t+h) - \vec{P}(t) &= m(t+h)\vec{v}(t+h) - m(t) \vec{v}(t) -\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s)\frac{dm(s)}{ds} \,ds, \\ &=m(t+h)\big[\vec{v}(t+h) - \vec{v}(t)\big] +\big[m(t+h)-m(t) \big] \vec{v}(t) -\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds, \end{aligned} \]

dove alla seconda uguaglianza abbiamo aggiunto e sottratto m(t+h)\vec{v}(t) e raccolto i termini. Dividendo per h e passando al limite per h \to 0 si ottiene

\[ \begin{aligned} \frac{d\vec{P}}{dt}(t) & = \lim_{h \to 0} m(t+h)\frac{\vec{v}(t+h) - \vec{v}(t)}{h} + \vec{v}(t) \lim_{h \to 0}\frac{m(t+h) - m(t)}{h} \,+ \\ & \qquad - \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds \\[4pt] &= m(t)\frac{d\vec{v}(t)}{dt} + \frac{dm(t)}{dt}\vec{v}(t) - \vec{v}_g(t)\frac{dm(t)}{dt}, \end{aligned} \]

dove alla seconda uguaglianza abbiamo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale, in quanto

\[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds = \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle \int_0^{t+h} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds - \int_0^{t} \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds}{h} \]

è proprio il limite del rapporto incrementale della funzione integrale F(t)=\int_0^t \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds} \,ds di \vec{v}_g(s) \frac{dm(s)}{ds}, che è continua avendo assunto \vec{v}_g continua e m derivabile con continuità.

Come già detto, evidenziamo che il sistema fisico trattato ha massa costante M=m(t) e non vi è ingresso o uscita di massa: la massa espulsa dal razzo nell’intervallo temporale [t,t+h] viene considerata nel calcolo della quantità di moto del sistema sia all’istante t (sotto forma di carburante contenuto nel razzo), che all’istante t+h (sotto forma di gas di scarico).

Applicando quindi la seconda legge della dinamica a tale sistema fisico, abbiamo che la risultante delle forze esterne agenti sul sistema al tempo t è pari alla derivata della quantità di moto al tempo t, ovvero

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ \vec{F}(t) = \frac{dm(t)}{dt}\big[\vec{v}(t) - \vec{v}_g(t)\big] + m(t)\frac{d\vec{v}(t)}{dt} \qquad \forall t \in \mathbb{R}, } \end{equation*}

che è proprio l’equazione di Mescerskij.

Osservazioni

  • L’equazione (1) può essere fisicamente interpretata come segue: in un certo istante t e a parità di valori m(t) e \vec{F}(t), l’accelerazione \frac{d\vec{v}(t)}{dt} del razzo è maggiore se il flusso dei gas espulsi è più intenso e se il modulo della velocità relativa di espulsione \big[\vec{v}(t) - \vec{v}_g(t)\big] è più elevato. Infatti, affinché la somma al secondo membro di (1) rimanga invariata e pari a \vec{F}(t), se l’addendo \frac{dm(t)}{dt}\big[\vec{v}(t) - \vec{v}_g(t)\big] è minore, allora l’altro addendo m(t)\frac{d\vec{v}(t)}{dt} deve essere maggiore.
  • Nonostante l’equazione \vec{F}(t)= \frac{d\vec{P}(t)}{dt} non sia valida per sistemi fisici aventi massa variabile, poiché non invariante rispetto al sistema di riferimento dell’osservatore, nei calcoli precedenti abbiamo utilizzato la seconda legge di Newton per descrivere il moto di un razzo che espelle dei gas, ossia un oggetto di massa variabile.

    Questo paradosso è però solo apparente in quanto, come abbiamo più volte precisato, la seconda legge di Newton è stata applicata al sistema “razzo + gas espulsi”, che ha massa costante, e non al solo razzo, che invece ha massa variabile.

 
 

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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