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Esercizi analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

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Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la risposta completa di un sistema a tempo discreto

(1) \begin{equation*} \begin{cases} x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\\ y(k+1)=C x(k)+D u(k), \end{cases} \end{equation*}

con matrici date da

(2) \begin{align*} A&=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&2&0\\0&1&1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 0&1\\2&0\\0&1 \end{pmatrix},\\[5pt] C&=\begin{pmatrix} 1&0&1\\1&2&0 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}, \end{align*}

allo stato iniziale

(3) \begin{equation*} x_0=\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \end{equation*}

e all’ingresso

(4) \begin{equation*}u(k)=\begin{pmatrix} 4k\\[3pt]-2 \end{pmatrix}sca(k).\end{equation*}

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