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Dinamica – Moto parabolico – Esercizio 2

Dinamica del punto materiale in Fisica scuola superiore

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Una palla viene lanciata con una velocità di modulo pari a 7.5 m/s e con un’inclinazione di 60^\circ rispetto al suolo. Calcola la massima altezza che il pallone puo’ raggiungere rispetto al punto di lancio.

Soluzione.
Il problema si può schematizzare come segue

Rendered by QuickLaTeX.com

Dato che il problema tratta il moto parabolico con lancio obliquo sappiamo che lungo l’asse x il moto è uniforme, mentre lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato con accelerazione \vec{g} di modulo pari a g=9.81 m/s^2; in particolare la velocità iniziale ha componente sia orizzontale che verticale

\[\begin{cases} v_{0x} = v_0 \, \cos 60^\circ\\ v_{0y} = v_0 \, \sin 60^\circ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} v_{0x} = 3.75 \, \text{m/s}\\ v_{0y} = 6.49 \, \text{m/s} \end{cases}\]

e dunque possiamo scrivere

\[\begin{cases} x = v_{0x} t\\ y = h + v_{0y}t - \dfrac{1}{2}gt^2 \end{cases}\]

Quando l’altezza massima viene raggiunta, la componente verticale della velocità si annulla cioè v_y=0 e quindi dalla formula del moto uniformemente accelerato abbiamo

\[v_y = v_{0y} -gt \quad \Leftrightarrow \quad 0 = v_{0y} -gt^\star \quad \Leftrightarrow \quad t^\star = \dfrac{v_{0y}}{g}\]

dove t^\star è il tempo necessario a raggiungere l’altezza massima. Sostituendo nella seconda equazione del sistema scritta per trovare l’altezza massima

\[h_{max} = v_{0y} t^\star - \dfrac{1}{2}g{t^\star}^2\]

abbiamo

\[h_{max} = v_{0y} \left(\dfrac{v_{0y}}{g} \right) - \dfrac{1}{2}g \, \left(\dfrac{v_{0y}}{g} \right)^2 \quad \Leftrightarrow \quad h_{max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}\]

e quindi

\[h_{max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{6.49 \, \text{m/s}}{2 \, 9.81 \, \text{m/s}^2} = 2.15 \, \text{m}\]

 
 


Fonte: Amaldi