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Esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana

Meccanica Hamiltoniana

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Questa dispensa contiene 25 esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana. I problemi sono stati selezionati dal sito del professore Guido Gentile e dai testi di riferimento [1], [2] e [3]. Gli esercizi sono stati appositamente scelti per corsi di meccanica analitica o meccanica razionale, spesso denominati fisica matematica. Ogni esercizio è presentato con una spiegazione dettagliata, senza omettere alcun passaggio, permettendo così una comprensione completa e approfondita dei concetti trattati.

 

Introduzione agli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana

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La meccanica razionale rappresenta un capitolo fondamentale della matematica, permettendo di applicare i metodi e il rigore matematico al contesto della meccanica. Uno dei capisaldi di questa disciplina è costituito dalle equazioni di Hamilton, una riformulazione della meccanica lagrangiana in termini di equazioni del primo ordine. Questo approccio offre una prospettiva più generale e versatile, che è cruciale per lo studio dei sistemi dinamici.

Gli esercizi seguenti mirano a esplorare e approfondire questi temi dal punto di vista pratico. Ogni problema è stato scelto per illustrare concetti chiave e tecniche fondamentali della meccanica hamiltoniana, offrendo al lettore la possibilità di sviluppare una comprensione approfondita e applicativa della materia. Attraverso questi esercizi, si avrà modo di vedere come la teoria si traduca in pratica, fornendo strumenti utili per affrontare problemi complessi sia in ambito accademico che professionale.


 
 

Autori e revisori degli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Roberto Castorrini, Alberto Cella, Elisa Bucci.


 
 

Nota sulle unità di misura sugli esercizi svolti sulla meccanica hamiltoniana

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Si osserva che le lagrangiane e le hamiltoniane possono includere termini additivi che, a prima vista, sembrano dimensionalmente incompatibili, come ad esempio q^2 + (\dot{q} q) + (\dot{q})^2. Tuttavia, questo problema è solo apparente, poiché i rispettivi coefficienti di questi termini possono essere scelti in modo tale da garantire che le lagrangiane e le hamiltoniane abbiano la corretta unità di misura.


 
 

Testi degli esercizi svolti di meccanica hamiltoniana

 

Esercizio 1 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Data la lagrangiana

\[ \mathcal{L}(q,\dot q)=\dfrac 12 \dot q^2+\dot q q+3q^2, \]

scrivere la corrispondente hamiltoniana e risolvere le equazioni di Hamilton associate.

Svolgimento.

Ricordiamo che, data la lagrangiana \mathcal{L}(q,\dot q), si definisce il momento cinetico

\[ p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}(q,\dot q). \]

Quando la funzione \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}(q,\cdot) è invertibile, allora possiamo esprimere \dot q in termini di p e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione

\[ H(q, p):=p \dot q-\mathcal{L}. \]

Nel nostro caso, la lagrangiana è definita per ogni q,\dot q \in \mathbb{R} e la funzione

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=\dot q+q \]

è chiaramente invertibile (vista come funzione di \dot q) per ogni q, e abbiamo

\[ \dot q=p-q. \]

Conseguentemente

\[ \begin{split} H(q,p)&=p \dot q-\mathcal{L}\\ &=p(p-q)-\left(\dfrac 12 (p-q)^2+(p-q) q+3q^2\right)\\ &=p(p-q)-\left(\dfrac 12 (p^2+q^2-2pq)+pq-q^2+3q^2\right)\\ &=p^2-pq-\dfrac{p^2}{2}-\dfrac{q^2}{2}+pq-pq+q^2-3q^2\\ &=\dfrac{p^2}{2}-\dfrac{5}{2}q^2-pq. \end{split} \]

In definitiva, l’hamiltoniana del sistema, definita per ogni p,q \in \mathbb{R}, è

\[\boxcolorato{fisica}{H(q,p)=\dfrac{p^2}{2}-\dfrac{5}{2}q^2-pq.}\]

Le equazioni di Hamilton del moto sono date da:

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \dot p= -\dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\\ \dot q=\dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}. \end{cases} \end{equation*}

Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione sistema (1). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo

\[ \begin{split} -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}&=-\frac{\partial}{\partial q}\left(\dfrac{p^2}{2}-\dfrac{5}{2}q^2-pq\right)=5q+p, \end{split} \]

e

\[ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\dfrac{p^2}{2}-\dfrac{5}{2}q^2-pq\right)=p-q, \]

da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{\begin{cases} \dot p=5q+p,\\ \dot q=p-q. \end{cases}} \end{equation*}

Risolviamo il precedente sistema di equazioni differenziali. Osserviamo che, dalla seconda equazione del sistema (2), deduciamo che

\[ p=\dot q+q. \]

Dunque, derivando ambo i membri dell’equazione precedente rispetto al tempo t e sfruttando la prima equazione del sistema (2), otteniamo

\[ 5q+(\dot q+q)=\ddot q+\dot q, \]

da cui perveniamo ad un equazione differenziale del secondo ordine per la funzione q,

\[ \ddot q-6q=0. \]

Il polinomio caratteristico associata alla precedente equazione è

\[ \lambda^2-6=0 \]

che ha soluzioni reali \lambda_-=-\sqrt 6 e \lambda_+=\sqrt 6. Dunque, la soluzione generale dell’equazione differenziale in q(t) è data dalla famiglia

\[ q(t)=c_1 e^{-\sqrt 6 t}+c_2 e^{\sqrt 6 t}, \qquad c_1,c_2 \in \mathbb{R}, t\ge 0. \]

Derivando la funzione q rispetto al tempo, si ha

\[ \dot q(t)=\dfrac{d}{dt}\left( c_1 e^{-\sqrt 6 t}+c_2 e^{\sqrt 6 t} \right)= -c_1\sqrt 6 e^{-\sqrt 6 t}+c_2\sqrt 6 e^{\sqrt 6 t}. \]

Dunque, ricordando che p=\dot q+q, possiamo ottenere anche p(t),

\[ p(t)=\dot q(t)+q(t)=c_1(1-\sqrt 6)e^{-\sqrt 6 t}+c_2(1+\sqrt 6)e^{\sqrt 6 t}, \quad t \ge 0. \]

Concludiamo che le soluzioni delle equazioni di Hamilton sono

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} q(t)=c_1 e^{-\sqrt 6 t}+c_2 e^{\sqrt 6 t}, \qquad t \ge 0\\ p(t)=c_1(1-\sqrt 6)e^{-\sqrt 6 t}+c_2(1+\sqrt 6)e^{\sqrt 6 t}, \qquad t \ge 0. \end{cases}}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar \bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Data la lagrangiana

\[ \mathcal{L}(q,\dot q)=\dfrac m2 (\dot q^2+2q^2\dot q)-q^2, \]

dove m>0, scrivere la corrispondente hamiltoniana e risolvere le equazioni di Hamilton associate.

Svolgimento.

Ricordiamo che, data la lagrangiana \mathcal{L}(q,\dot q), si definisce il momento cinetico

\[ p=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}(q,\dot q). \]

Quando la funzione \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}(q,\cdot) è invertibile, allora possiamo esprimere \dot q in termini di p e definire l’hamiltoniana del sistema come la funzione

\[ H(q, p):=p \dot q-\mathcal{L}. \]

Nel nostro caso la lagrangiana è definita per ogni q,\dot q \in \mathbb{R}, e la funzione

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot q}=m(\dot q+q^2) \]

è chiaramente invertibile (vista come funzione di \dot q) per ogni q, e abbiamo

\[ \dot q=\dfrac{p-mq^2}{m}. \]

Conseguentemente,

\[ \begin{split} \mathcal{L}(q,\dot q)&= \dfrac m2 \left(\dfrac{p-mq^2}{m}\right)^2+m q^2\left( \dfrac{p-mq^2}{m}\right)-q^2\\ &= \dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{mq^4}{2}-pq^2+q^2p-mq^4-q^2\\ &=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{mq^4}{2}-q^2. \end{split} \]

Dunque l’hamiltoniana, definita per ogni p,q\in \mathbb{R}, è

\[ \begin{split} H(q,p)&=p \dot q-\mathcal{L}\\ &=p\left( \dfrac{p-mq^2}{m}\right)-\left(\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{mq^4}{2}-q^2\right)\\ &= \dfrac{p^2}{m}-q^2p-\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{mq^4}{2}+q^2\\ &=\dfrac{p^2}{2m}-q^2p+\dfrac{mq^4}{2}+q^2. \end{split} \]

In definitiva, l’hamiltoniana del sistema è

\[\boxcolorato{fisica}{ H(q,p)=\dfrac{p^2}{2m}-q^2p+\dfrac{mq^4}{2}+q^2.}\]

Le equazioni di Hamilton del moto sono date da:

(3) \begin{equation*} \begin{cases} \dot p= -\dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\\ \dot q=\dfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}. \end{cases} \end{equation*}

Calcoliamo i termini di destra rispettivamente della prima e seconda equazione del sistema (3). Usando l’hamiltoniana calcolata al punto 1, abbiamo

\[ \begin{split} -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}&=-\frac{\partial}{\partial q}\left(\dfrac{p^2}{2m}-q^2p+\dfrac{mq^4}{2}+q^2\right)=2qp-2mq^3-2q, \end{split} \]

e

\[ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\dfrac{p^2}{2m}-q^2p+\dfrac{mq^4}{2}+q^2\right)=\dfrac{p}{m}-q^2, \]

da cui otteniamo le equazioni di Hamilton del nostro sistema:

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} \dot p=2qp-2mq^3-2q,\\ \dot q=\dfrac{p}{m}-q^2. \end{cases}}\]

Dalla seconda equazione del precedente sistema,

\[ p=m(\dot q+q^2). \]

Dunque, derivando ambo i membri dell’equazione precedente rispetto al tempo t e sfruttando la prima equazione del precedente sistema, otteniamo

\[ m\ddot q +2mq\dot q =2mq(\dot q +q^2)-2mq^3-2q \]

da cui, con semplici semplificazioni, perveniamo ad un equazione differenziale del secondo ordine per la funzione q:

\[ \ddot q+\dfrac 2m q=0. \]

Osserviamo che la precedente è l’equazione differenziale per un oscillatore armonico di frequenza \omega= \sqrt{\frac{2}{m}}. Il polinomio caratteristico associato è

\[ \lambda^2=-\dfrac 2m, \]

che ha soluzioni complesse coniugate (ricordiamo che m>0)

\[\lambda_{\pm}=\pm i \omega.\]

Dunque, la soluzione generale dell’equazione differenziale in q(t) è data dalla famiglia

\[ q(t)=A \cos(\omega t + \phi), \]

dove A, \phi \in \mathbb{R} sono dette rispettivamente ampiezza e fase iniziale dell’oscillazione. Derivando la funzione q rispetto al tempo si ha

\[ \dot q(t)=-A\omega \sin(\omega t + \phi). \]

Quindi, ricordando che p=m(\dot q+q^2), possiamo ottenere anche p(t):

\[ p(t)=m(\dot q(t)+q^2(t))=-A\omega m \sin(\omega t + \phi)+A^2m \cos^2(\omega t + \phi). \]

Concludiamo che le soluzioni delle equazioni di Hamilton, valide per ogni t\ge 0, sono

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} q(t)=A \cos(\omega t + \phi),\\ p(t)=-A\omega m \sin(\omega t + \phi)+A^2m \cos^2(\omega t + \phi), \end{cases}}\]

con \omega= \sqrt{\frac{2}{m}}.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestartar\largewhitestar). Dire per quali valori di \beta \in \mathbb{R} e \alpha \in \mathbb{R}\setminus \{0\} la seguente trasformazione è canonica:

(4) \begin{equation*} \begin{cases} P=\alpha p e^{\beta q}\\ Q=\dfrac 1\alpha e^{-\beta q}. \end{cases} \end{equation*}

Si trovi una funzione generatrice di seconda specie in corrispondenza di tali valori.

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