Fin dall’antichità è stata evidenziata l’esistenza di numeri non razionali: la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario o la lunghezza di una circonferenza di raggio unitario non sono dei numeri razionali. Ciò ha condotto all’introduzione dei numeri reali, ambiente in cui è possibile effettuare una gran varietà di operazioni algebriche e geometriche.
La scrittura decimale di un numero reale è in generale infinita e non periodica. Nella pratica quotidiana si usano quindi delle approssimazioni razionali, generalmente troncando tale scrittura infinita: si pensi ad esempio all’approssimazione 3.14 del famoso “pigreco”. E’ dunque naturale porsi la domanda:
Questa approssimazione può essere arbitrariamente precisa?
In questo articolo mostriamo che la risposta è affermativa. Matematicamente, ciò corrisponde al fatto che i numeri razionali siano densi nei reali: dato un numero reale, esistono cioè numeri razionali arbitrariamente vicini a esso.
La proprietà di densità, oltre alla sua importanza pratica, possiede notevoli applicazioni in ogni branca della Matematica.
Come si formalizza tutto ciò e come si dimostra? Passando per parti intere e proprietà archimedea, scoprilo leggendo questo breve e chiaro articolo!
Autori e revisori
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Revisore: Valerio Brunetti.
Introduzione
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). I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come 
) e i numeri irrazionali algebrici (come 
) e trascendenti (come 
ed 
).
A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile; la cardinalità dell’insieme dei numeri reali è “strettamente più grande” di quella dei numeri naturali, anche se entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi. Formalmente, questo equivale a dire che non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i numeri naturali. Ciò distingue i numeri reali dagli altri insiemi numerici comunemente utilizzati, come l’insieme dei numeri naturali, razionali e algebrici. Questi ultimi hanno tutti la stessa cardinalità, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca fra loro. L’insieme dei reali, invece, ha una cardinalità più grande: esiste una funzione iniettiva da ognuno di questi insiemi ai reali, ma non viceversa. In altre parole, nel tappare tutti i “buchi” lasciati dai numeri razionali si deve aggiungere una “tale quantità” di numeri nuovi da farne crescere la cardinalità. Questo può essere dimostrato con il procedimento diagonale di Cantor.
D’altra parte, nonostante i numeri reali siano molti più dei razionali, in queste note dimostreremo che i razionali sono densi nei reali, ovvero tra ogni due numeri reali, non importa quanto vicini tra loro, esiste sempre un numero razionale.
Per capire e comprendere al meglio questo file si consiglia di far riferimento al seguente link (prerequisiti): Insiemi numerici 
.
Richiami di teoria
Proprietà archimedea dei reali.
e 
esiste un numero naturale 
tale che
![\[n y > x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1462e1967a4ba7cd915c9ce5d65562ed_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
In altri termini, dati due numeri reali positivi, è sempre possibile moltiplicare uno dei due numeri per un numero naturale e rendere il prodotto maggiore dell’altro numero di partenza (a prescindere da quale dei due numeri fosse il più grande inizialmente).
In modo particolare, per un qualunque , scegliendo 
deve esistere un intero tale che 
, ovvero abbiamo il seguente risultato.
e esiste un numero naturale tale che
In realtà, si vede facilmente che il teorema 1 è equivalente all’assioma 1: per l’implicazione inversa basterà applicare il teorema 1 al numero reale 
.
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