Disequazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 2

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Ottieni il documento contenente 4 disequazioni logaritmiche risolte con la variabile ausiliaria.

Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.$

Bisogna porre l’argomento di ogni logaritmo maggiore di zero, quindi

$\begin{cases} x^2>0\\ x>0 \end{cases}$

ottenendo

$\boxcolorato{superiori}{C.E. \quad x>0.}$

Innanzitutto con le proprietà dei logaritmi otteniamo

$\log_2 x^2 = 2 \log_2 \vert x \vert \overset{\star}{=} 2 \log_2 x$

dove in $\star$ abbiamo utilizzato la condizione di esistenza. Dunque

$\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3 \quad \Rightarrow \quad 2\log_2 x + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.$

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

$t = \log_2 x$

ottenendo

$2t + \dfrac{1}{t} - 3 \le 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2t^2-3t+1}{t}\le0,$

da cui

$\begin{aligned} &N(t) = 2t^2-3t+1\ge0 \quad \Rightarrow \quad t\le \dfrac{1}{2} \; \vee \; t \ge 1\\ &D(t) = t >0 \end{aligned}$

e con la regola dei segni

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abbiamo

$t<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le x \le 1.$

Ora andiamo a sostituire $t=\log_2x$ ottenendo

$\log_2x<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le \log_2x \le 1$

da cui

$x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2.$

Conclusione. Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

$\begin{cases} x>0\\\\ x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2 \end{cases}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{S:0<x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2.}$

Fonte: La matematica a colori 3, ed. Verde – Petrini