Punti di non derivabilità

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione

$f(x)=x^3 \; \vert x \vert :\mathcal{D} \to \mathbb{R}$

con $\mathcal{D}$ dominio.

Soluzione

La funzione $f$ ha dominio $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ . Dato che la funzione è continua nel suo dominio, cioè in $\mathbb{R}$ , può essere derivabile in $\mathbb{R}$ . Per studiare la derivabilità dobbiamo calcolare la derivata. Riscriviamo la funzione come segue

$f(x) = \begin{cases} x^4 \qquad \mbox{se } x \ge 0\\ -x^4 \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}$

così che la derivata sia

$f^\prime(x) = \begin{cases} 4x^3 \qquad \mbox{se } x > 0\\ -4x^3 \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}$

L’unico punto in cui dobbiamo studiare la derivabilità (o non derivabilità) è il punto $x=0$ :

$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0 \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$

Dato che i due limiti sono uguali e finiti, la funzione nel punto $x=0$ è derivabile.

Fonte: L.Sasso – La matematica a colori 4 – Petrini

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