Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 5

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Risolvere il seguente problema di Cauchy

$\begin{cases} e^xy^2-y'=0\\\\ y(0)=\dfrac{1}{3} \end{cases}$

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

$h(y) \cdot y'=g(x)$

dove

$h(y) = \dfrac{1}{y^2} \qquad \mbox{e} \qquad g(x)=e^x$

infatti, con $y\neq 0$ , l’equazione data diventa

$\dfrac{1}{y^2} \, y'=e^x$

Ricordando che

$y'=\dfrac{dy}{dx},$

l’equazione differenziale diventa

$\dfrac{1}{y^2} \, dy =e^x \, dx$

Integrando ambi i membri dell’equazione differenziale abbiamo

$\begin{aligned} & \int \dfrac{1}{y^2} \, dy =\int e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{1}{y} = e^x + c \quad \Rightarrow \quad y = - \dfrac{1}{e^x+c} \end{aligned}$

con $c$ costante. Andiamo a calcolare la costante $c$ impostando la condizione $y(0)=\frac{1}{3}$

$\dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{e^0+c} = - \dfrac{1}{1+c} \quad \Rightarrow \quad c = -4$

Quindi

$\boxed{ y = - \dfrac{1}{e^x-4} }$

Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli

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