Equazione logaritmica con variabile ausiliaria – Esercizio 2

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Ottieni il documento contenente 3 equazioni logaritmiche risolte con la variabile ausiliaria.

Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_3^2 x - \log_3 x -2=0.$

Bisogna porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero, per cui

$\boxcolorato{superiori}{ C.E. \quad x>0.}$

Dato che compare un logaritmo elevato al quadrato, utilizziamo l’incognita ausiliaria $t$ ponendola uguale al logaritmo, cioè

$t= \log_3 x$

per cui l’equazione diviene

$t^2-t-2=0 \quad \Rightarrow \quad t=\dfrac{1\pm3}{2}$

da cui

$t = 2 \; \vee \; t = -1$

e quindi

$\log_3 x = 2 \; \vee \; \log_3 x = -1.$

Con la definizione di logaritmo ricaviamo

$x = 3^2=9 \; \vee \; x=3^{-1}=\dfrac{1}{3}.$

I valori trovati sono accettabili perché rientrano nelle condizioni di esistenza, cioè sono maggiori di zero, quindi

$\boxcolorato{superiori}{S: \quad x = 9 \; \vee \; x=\dfrac{1}{3}.}$

Fonte: L.Sasso – Matematica a colori 3 – Petrini