Equazione logaritmica elementare – Esercizio 4

Equazioni e disequazioni elementari in Logaritmi

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_3 (4-x) +\log_3(x+6)=2.$

Svolgimento.

Condizioni di esistenza. Bisogna porre gli argomenti dei logaritmi tutti contemporaneamente maggiori di zero:

$\begin{cases} 4-x>0\\ x+6>0 \end{cases} \Rightarrow \quad \begin{cases} x<4\\ x>-6 \end{cases}$

quindi

$\boxed{C.E. \quad -6<x<4.}$

Risoluzione. Utilizzando le proprietà dei logaritmi riduciamo l’equazione ad avere un solo logaritmo a destra e a sinistra del segno di uguaglianza:

$\log_3 (4-x) +\log_3(x+6)=2 \quad \Rightarrow \quad \log_3 (4-x)(x+6) = \log_3 9 \quad \Rightarrow \quad -x^2-6x+4x+24= 9 \quad \Rightarrow \quad x^2+2x-15=0$