Ellisse passante per due punti – Esercizio 1

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Qual è l’equazione dell’ellisse passante per i punti

$A \left(\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right) \qquad \mbox{e} \qquad B \left(\-1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Svolgimento.

Data l’equazione dell’ellisse

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

impostiamo un sistema imponendo il passaggio per i due punti

$\begin{cases} \text{Passaggio per } A \qquad \qquad \dfrac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{b^2}=1\\\\ \text{Passaggio per } B \qquad \qquad \dfrac{1^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\begin{cases} \dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}=1\\\\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{4b^2}=1. \end{cases}$

Sostituiamo nel sistema

$t = \dfrac{1}{a^2} \qquad \mbox{e} \qquad v = \dfrac{1}{b^2}$

ottenendo

$\begin{cases} 3t + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t + \dfrac{3v}{4}=1. \end{cases}$

Procediamo per sostituzione

$\begin{cases} 3 \, \left(1 - \dfrac{3v}{4}\right) + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3 - \dfrac{9v}{4} + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2v =2\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} v=1\\\\ t =1 - \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} \end{cases}$