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Radice n-esima di un numero complesso – Esercizio 2

Radice n-esima in Numeri Complessi

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare

    \[\sqrt{1+\sqrt{3}i}\]

 

Soluzione

Avendo un numero complesso z = a + ib, le radici n-esime di z sono

    \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\vert z \vert} \left(\cos \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)\right) \qquad k=0,1,\dots,n-1.\]

Nel nostro caso

    \[a = 1, \quad b=\sqrt{3}, \quad n=2 \qquad \mbox{e} \qquad k=0,1\]

con

    \[\vert z \vert = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2 \qquad \mbox{e} \qquad \alpha= \arctan \left(\sqrt{3} \right) = \dfrac{\pi}{3}\]

Applicando la formula abbiamo

    \[\sqrt{z} = \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{6} + k\pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6} + k\pi \right)\right) \qquad \qquad k=0,1\]

per cui

    \[\begin{aligned} & k=0 \qquad \qquad \sqrt{1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6} \right)\right) = \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\; i \right) \\\\ & k=1 \qquad \qquad \sqrt{1+\sqrt{3}i} = \sqrt{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) \right) = - \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\; i \right) \end{aligned}\]

quindi

    \[\boxed{ \sqrt{1+\sqrt{3}i} = \pm \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\; i \right)}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli