Esercizi sugli spazi vettoriali 6 — basi e dimensione

Home » Esercizi sugli spazi vettoriali 6 — basi e dimensione

In questa raccolta presentiamo ulteriori 3 esercizi svolti sul calcolo delle basi e delle dimensioni negli spazi vettoriali, per completare il percorso iniziato con gli articoli Esercizi svolti su basi e dimensioni e Esercizi svolti su sottospazi e basi.

Di ciascun esercizio, come di consueto, è fornita una soluzione completa: buona lettura!

basi spazi vettoriali: sommario

Leggi...

In questa dispensa vengono proposti esercizi misti su spazi vettoriali (basi e dimensioni). I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

basi spazi vettoriali: autori e revisori

Leggi...

Autore: Jacopo Garofali

Revisore: Valerio Brunetti

Notazioni su basi e dimensioni di spazi vettoriali

Leggi...

$A=\mathcal{P}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$	matrice $A$ di cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ oppure matrice di cambio di coordinate da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ ;
$\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V$	sottospazio vettoriale di $V$ generato dai vettori $v_1,\dots,v_n$ ;
$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$	spazio vettoriale delle matrici di ordine $n$ a coefficienti nel campo $\mathbb{K}$ ;
$\mathcal{M}(n,m;\mathbb{R})$	insieme delle matrici con $n$ righe e $m$ colonne a coefficienti reali;
$\mathbb{K}[x]$	anello dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{K}$ nella variabile $x$ ;
$\mathbb{K}_{\leq n}[x]$	anello dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{K}$ nella variabile $x$ di grado minore o uguale a $n$ ;

Premessa teorica su basi e dimensione degli spazi vettoriali

Leggi...

Date $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\}$ e $\mathcal{B}'=\{v_1',\dots,v_n'\}$ due basi di uno spazio vettoriale $V$ , chiamiamo matrice del cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ la matrice $A=(a_{ij})_{i=1,\dots,n}^{j=1,\dots,n}$ tale che $v_j'=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}v_i$ (dove $i$ è l’indice di riga e $j$ l’indice di colonna). Sia $v \in V$ e denotiamo rispettivamente con $x=[v]_{\mathcal{B}}$ e $x'=[ v]_{\mathcal{B}'}$ le coordinate rispetto $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ . Il relativo cambiamento di coordinate è dato da $x=Ax'$ . La matrice $A$ di cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ (detta anche matrice di passaggio di coordinate da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ ) si denota con

$A=\mathcal{P}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} \quad \mbox{ oppure } A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}.$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Si considerino i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3$

$\begin{equation*} \begin{aligned} & v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right), \quad v_2= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\quad v_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), &\\ & w_1= \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_3=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).& \end{aligned} \end{equation*}$

Dimostrare che $\mathcal{B}_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ e $\mathcal{B}_2=\{w_1,w_2,w_3\}$ sono basi;
Calcolare la matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$ ;
Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}_1$ di $w=3w_1-5w_3$ .

Svolgimento punto 1.

Sia $B_i$ la matrice avente come colonne i vettori della base $\mathcal{B}_i$ per $i=1,2$ . Abbiamo che $\mathcal{B}_i$ è una base se e solo se $\det(B_i)\neq 0$ , cosa che si verifica facilmente.

Svolgimento punto 2.

La matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$ ha come colonna $j$ -esima il vettore delle coordinate di $w_j$ rispetto la base $\mathcal{B}_1$ , ovvero detto $x_j$ tale vettore, esso soddisfa $B_1x_j=w_j$ . Ma questo scritto in forma compatta diventa la seguente identità tra matrici: $B_1\,\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}=B_2$ , cosa che si verifica anche ossservando che $B_i$ è la matrice del cambiamento di base dalla base standard alla base $\mathcal{B}_i$ e che, date $\mathcal{B}_i$ , $i=1,2,3$ , tre basi qualsiasi, vale la formula

$\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}\mathcal{M}_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}= \mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_3}$

Dunque $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}=B_1^{-1}B_2=\begin{pmatrix} -1 & -5 & -3 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

Notiamo che avremmo potuto fare direttamente il punto $2)$ , ovvero si poteva tentare di calcolare la matrice del cambiamento e, nel caso si avesse avuto successo, sarebbe bastato controllare che tale matrice è non singolare. In altre parole, basta tentare, tramite un’eliminazione di Gauss sulla matrice $3\times 6$ data da $[B\,B']$ , di arrivare alla fine ad ottenere la matrice della forma $[1 X]$ con $\det(X)\neq 0$ . In questo caso abbiamo concluso: $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ sono basi e $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=B^{-1}B'=X$ . Questo si dimostra essenzialmente tramite la definizione di Algoritmo di Gauss e il Teorema di Binet.

Svolgimento punto 3.

$[w]_{\mathcal{B}_1}=(12,5,-15)$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $V= \mathbb{R}_{\leq 2}[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali. Si considerino i seguenti polinomi in $V$ :

$\begin{gathered} p_1(t)= t^2+t, \qquad p_2(t)=2t^2+3t+1, \qquad p_3(t)=-t^2+2, \\ q_1(t)= -t^2, \qquad q_2(t)=-2t^2-t-2, \qquad q_3(t)=t^2+t. \end{gathered}$

Dimostrare che $\mathcal{B}=\{p_1,p_2,p_3\}$ e $\mathcal{B}'=\{q_1,q_2,q_3\}$ sono basi di $\mathbb{R}_{\leq 2}[t]$ ;

Determinare la matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ ;

Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}$ di
$p(t)=q_3(t)-2q_1(t)$ ;

Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}'$ di $f(t)=t^2+1$ ;

Siano $U=\mathcal{L}\{ p_1,q_1 \}$ e $W=\{ p(t) \in \mathbb{R}_{\leq 2}[t] : p(1)+p(-1)=0\}$ . Determinare la dimensione ed esibire una base di $U,W,U\cap W$ . Verificare infine che $V=U+W$ .