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Algebra delle matrici 7 — determinanti, orlati, Cramer.

Operazioni e proprietà

Home » Algebra delle matrici 7 — determinanti, orlati, Cramer.

Presentiamo 5 esercizi svolti sul calcolo dei determinanti, sul metodo degli orlati per il calcolo del rango e sulla regola di Cramer. Poiché le tematiche affrontate sono varie, l’articolo può essere inteso come un complemento alla preparazione, permettendo al lettore di cimentarsi in esercizi di carattere generale e vario. Segnaliamo inoltre la raccolta Algebra delle matrici 8 – calcolo della matrice inversa.

 

Orlati,Cramer: Autori

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L’autore del seguente articolo è Jacopo Garofali.


 

Testi degli esercizi su determinante, orlati e metodo di Cramer

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Siano x_1,\dots,x_n \in \mathbb{R} e sia V la seguente matrice n\times n

\[V=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1& x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}\]

 

  1. Dimostrare che \det(V)=\displaystyle \prod_{1\leq i <j\leq n}(x_j-x_i);
  2. Siano (x_1, x_2, x_3)= (1,2,3) a sia V la matrice 3\times 3 ottenuta al punto precedente (si osservi che V è non singolare).
    Risolvere con la regola di Cramer il sistema Vx=b, dove b=(1,4,16).

Svolgimento punto 1.

La matrice V è detta matrice di Vandermonde. La dimostrazione si può trovare al seguente link

Svolgimento punto 2.

E’ una semplice applicazione del punto 1. Infatti, la matrice che si ottiene sostituendo a una colonna di V il vettore dei termini noti b è ancora una matrice di Vandermonde. Nel nostro caso abbiamo \det(V)=(2-1)(3-1)(3-2)=2, dunque

\begin{equation*} \begin{aligned} & V(x,y,z)= (1,4,16) \Leftrightarrow \\\\ & x= \dfrac{(2-4)(3-4)(3-2)}{2}= 1;\\\\ & y= \dfrac{(4-1)(3-1)(3-4)}{2}= -3; \\\\ & z= \dfrac{(2-1)(4-1)(4-2)}{2}=3. \end{aligned}\end{equation*}


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia M una matrice antisimmetrica (ovvero M^T=-M) di ordine n.
 

  1. Dimostrare che \det(M)=0 se n è dispari;
  2. Dimostrare che per ogni v\in \mathbb{R}^n si ha v^TMv=0 (ovvero v è perpendicolare a Mv).

Svolgimento punto 1.

Ricordiamo che se A è una matrice quadrata di ordine n e \lambda \in \mathbb{R} allora \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A) e che \det(A^T)=\det(A). Da M^T=-M concludiamo allora che \det(M)=(-1)^n \det(M), da cui, per n dispari, \det(M)=0.

Svolgimento punto 2.

Si ha che v^TMv= (v^TMv)^T in quanto numeri. Inoltre, ricordando che (AB)^T=B^TA^T, abbiamo (v^TMv)^T=v^TM^Tv=-v^TMv, dunque concludiamo che v^TMv=0.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sia

\[A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 &0\\ 0& 0 & 1& -1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 &0 \\ 1 & 5 & -3 & 4 &-1 \end{pmatrix}\]

Determinare il rango di A usando il metodo degli orlati.

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