Esercizio 6 – Esercizi misti elettromagnetismo

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).$ Il sistema di condensatori accanto è a regime con i condensatori carichi secondo le differenze di potenziale riportate in figura quando ad un certo istante viene chiuso l’interruttore. Una volta ristabilita la nuova condizione di equilibrio si osserva che la carica presente nel condensatore $C_2$ è nulla. Calcolare:

a) il valore della capacità $C_2$ ;

b) l’energia dissipata sulla resistenza.

I dati del problema sono: $C_1=C=3 \,\mu$ F, $C_3=2C$ , $C_4=4C$ , $\Delta V_1=10$ V, $\Delta V_2=20$ V.

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Svolgimento punto a.

Quando il condensatore $C_2$ è scarico, lo sono anche gli altri essendo collegati ad esso in parallelo. Questo significa che alla fine della fase di transizione la somma delle cariche iniziali sulla superficie superiore (o inferiore) dei condensatori andrà a zero

(1) $\begin{equation*} q_1 + q_2 - q_{3,4} = 0 \end{equation*}$

dove $q_i$ indica la carica nella superficie superiore del condensatore $C_i$ . In particolare $q_{3,4}$ è la carica sui condensatori $C_3$ e $C_4$ prima del collegamento, chiaramente la carica è la stessa perché sono in serie. Si deve considerare nella somma il termine negativo $-q_{3,4}$ in quanto inizialmente il potenziale elettrostatico $\Delta V_2$ è opposto (quindi le cariche scorrono nel verso opposto) rispetto a $\Delta V_1$ . La carica $q_{3,4}$ è quella presente nel condensatore equivalente, serie di $C_3$ e $C_4$ , ovvero

(2) $\begin{equation*} q_{3,4} = \Delta V_2 C_{eq}=\Delta V_2\bigg({C_3C_4\over C_3+C_4}\bigg) \end{equation*}$

Possiamo quindi riscrivere l’equazione (1) come

(3) $\begin{equation*} \Delta V_1 (C_1+C_2)-\Delta V_2\bigg({C_3C_4\over C_3+C_4}\bigg)=0 \end{equation*}$

risolvendo per $C_2$ concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ C_2 ={5\over 3}C = 5\,\mu\text{F}.}$

Svolgimento punto b.

Sulla resistenza viene dissipata per effetto Joule l’energia necessaria a portare all’equilibrio il circuito dopo aver chiuso l’interruttore. L’energia elettrostatica iniziale del circuito è data dalla somma delle energie immagazzinate dai condensatori, ovvero

(4) $\begin{equation*} U_i = {1\over 2} (C_1+C_2)(\Delta V_1)^2+{1\over 2}\bigg({C_3C_4\over C_3+C_4}\bigg)(\Delta V_1)^2 \end{equation*}$

L’energia elettrostatica finale invece è pari a zero, in quanto alla fine del periodo di transizione i condensatori sono scarichi. Quindi la differenza di energia è data da

(5) $\begin{equation*} \Delta U = U_f- U_i = -U_i \end{equation*}$

Quindi sulla resistenza viene dissipata tutta l’energia iniziale del circuito. Concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ U_{diss}={1\over 2} (C_1+C_2)(\Delta V_1)^2+{1\over 2}\bigg({C_3C_4\over C_3+C_4}\bigg)(\Delta V_1)^2=\text{1,2}\cdot 10^{-3}\,\text{J}.}$

Fonte.

Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.

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