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Esercizio 3 – Esercizi misti elettromagnetismo

Esercizi misti sull'elettromagnetismo

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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due fili conduttori paralleli e di lunghezza indefinita, posti a distanza 4a, sono percorsi dalle correnti I_1=2\, \text{A} e I_2=2\,\text{A}, dirette rispettivamente in verso entrante ed uscente rispetto al piano della figura 1. A distanza 2a (con a= 10 \, \text{cm}) dal punto intermedio P tra i due fili, è presente un terzo filo di lunghezza indefinita percorso dalla corrente I_3 diretta in verso uscente. Calcolare:

a) la forza F che agisce su un tratto di lunghezza L=20 cm del filo percorso dalla corrente I_3=4\, \text{A};

b) il modulo del campo di induzione magnetica B generato dai tre fili nel punto P.

 
 

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Figura 1.

 
 

Svolgimento Punto a.

La legge di Biot-Savart ci permette di calcolare il campo magnetico generato da un filo di lunghezza indefinita percorso da corrente in un generico punto dello spazio. In particolare vale

(1)   \begin{equation*} B(r)= {\mu _0\over 2\pi}{I\over r}\qquad \text{Legge di Biot-Savart} \end{equation*}

dove B(r) è il campo magnetico ad una distanza r dal cavo e I è l’intensità di corrente generica. Le linee di campo sono circonferenze concentriche attorno al filo indefinito, mentre il verso è dato dalla regola della vite (pollice in direzione della corrente, mentre le dita danno la direzione). Sul filo percorso dalla corrente I_3 agiscono due campi magnetici, il primo generato da I_1 e il secondo generato da I_2.

(2)   \begin{align*} B_1 = {\mu_0\over 2\pi} {I_1\over \sqrt{8}a} && B_2 = {\mu_0\over 2\pi} {I_2\over \sqrt{8}a} \end{align*}

dove la distanza \sqrt{8}a = \sqrt{(2a)^2+(2a)^2} è conseguenza del teorema di Pitagora. Osserviamo la direzione dei campi magnetici in figura 2.

   

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Figura 2: rappresentazione campo magnetico e forza totale.

   

Dal momento che le correnti I_1 e I_2 sono uguali in modulo ma opposte in verso, i campi \vec{B}_1 e \vec{B}_2 sono speculari rispetto all’asse della congiungente tra i due fili; segue che la loro somma genera un campo magnetico \vec{B}_T diretto verso il basso (come in figura 2). Sia I=I_1=I_2, avremo che il modulo di B_T sarà dato da:

(3)   \begin{equation*} B_T = \sqrt{B_1^2+B_2^2}={\mu_0\over 2\pi} {1\over \sqrt{8}a}\sqrt{I_1^2+I_2^2}=\sqrt{2}\cdot{\mu_0\over 2\pi}\cdot {I\over 2\sqrt{2}a}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi a}=2\cdot 10^{-6}\,\text{T}. \end{equation*}

A questo punto ricordando la seconda legge elementare di Laplace

(4)   \begin{equation*} d\vec{F} = I_3 \,(d\vec{s}\times\vec{B_T}) \end{equation*}

dove d\vec{s} è un vettore infinitesimo orientato secondo il verso della corrente avente modulo ds e \vec{B}_T è il campo magnetico totale agente sul terzo filo. Quindi, dalla regola della mano destra troviamo che la direzione e il verso di d\vec{F} sono indicati in figura 2, ovvero perpendicolare a \vec{B}_T. Per ottenere il modulo della forza \vec{F} integriamo su una lunghezza L e otteniamo

(5)   \begin{equation*} F=\int_{0}^{L}I_3B_T\,ds=I_3B_TL, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ F = I_3 L B_T = \text{1,6}\cdot 10^{-6}\,\text{N}.}\]

 

Svolgimento Punto b.

Nel punto P dobbiamo considerare il contributo di 3 campi elettrici di modulo

(6)   \begin{align*} B_1 = {\mu_0 \over 2\pi}{I_1\over 2a}=\dfrac{\mu_0I_1}{4\pi a}; \quad\quad\quad B_2 = {\mu_0 \over 2\pi}{I_2\over 2a}=\dfrac{\mu_0I_2}{4\pi a};\quad\quad\quad B_3 = {\mu_0 \over 2\pi}{I_3\over 2a}=\dfrac{\mu_0I_3}{4\pi a}. \end{align*}

La direzione e il verso di questi campi magnetici è data dalla regola della mano destra, in particolare si osservi la figura 3.

   

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Figura 3: dettaglio vettori campo magnetico e forza

   

Il modulo del campo magnetico totale è dato da

    \[\boxcolorato{fisica}{ B_T = \sqrt{B_3^2+(B_1+B_2)^2} = {\mu_0\over 4\pi a }\sqrt{I_3^2+4I^2}=\text{5,6}\cdot 10^{-6}\,\text{T}.}\]

 

mentre la direzione e il verso sono segnati in figura 3, utilizzando la regola del parallelogramma o punta coda per le somme tra vettori.

 

Fonte.

Esercizio tratto dagli esami di fisica 2 del professore Claudio Verona.

 

 

 

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