Quesito numero 5 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

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Quesito 5 . Nel piano riferito a coordinate cartesiane $(x,y)$ si dica qual’\`{e} l’insieme dei punti per i quali $y^2-x^3>0$ .

Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che $y^2>x^3$ per ogni valore di $x<0$ . Possiamo riscrivere la disequazione nella forma

$(y-x^{3/2})(y+x^{3/2})>0,$

che equivale ai due sistemi

$\left\{\begin{array}{l} y-x^{3/2}>0 \\ y+x^{3/2}>0 \end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} y-x^{3/2}<0 \\ y+x^{3/2}<0 \end{array}\right.,$

o equivalentemente

$\left\{\begin{array}{l} y>x^{3/2} \\ y>-x^{3/2} \end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} y<x^{3/2} \\ y<-x^{3/2} \end{array}\right..$

Il primo sistema equivale alla sola disequazione $y-x^{3/2}>0$ , mentre il secondo alla disequazione $y+x^{3/2}<0$ , le cui soluzioni sono date nei grafici seguenti.

La soluzione del problema è allora ottenuta unendo le due soluzioni precedenti alla considerazione iniziale, come si vede in figura:

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