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Quesito numero 3 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2008

Preparazione alla maturità

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Quesito 3 . Un solido ha per base un cerchio di raggio 1. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido.

 

Svolgimento. Consideriamo il cerchio di equazione x^2+y^2=1 e sia il diametro giacente sull’asse x quello fissato, come in figura alla pagina seguente. I punti di intersezione della corda perpendicolare a tale diametro, se essa ha equazione x=h, hanno coordinate

\[A(k,\sqrt{1-k^2}),\qquad B(k,-\sqrt{1-k^2}),\]

e quindi

\[AB=2\sqrt{1-k^2},\qquad h=\sqrt{3(1-k^2)},\]

dove h `{e} l’altezza del triangolo equilatero costruito sulla corda AB. L’area del generico triangolo equilatero `{e} pertanto

\[A_T(k)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\sqrt{3}(1-k^2).\]

Poich'{e} k varia nell’intervallo [-1,1], abbiamo che il volume del solido cercato `{e} pari a

\begin{align*} V=&\int_{-1}^1 A_T(k)\ dk=\int_{-1}^1 \sqrt{3}(1-k^2)\ dk=\sqrt{3}\left[k-\frac{k^3}{3}\right]_{-1}^1\\ =&\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}. \end{align*}