Quesito numero 4 dell’esame di stato di liceo scientifico del corso sperimentale del P.N.I del 2007

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Quesito 4 .Si consideri la funzione

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\displaystyle-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$

Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di $\mu,\sigma,\sigma^2$ e come tali parametri influenzino il grafico di $\gamma$ .

Svolgimento. La funzione $f$ rappresenta la distribuzione normale di Gauss. Il suo grafico, per $\sigma=1,\mu=0$ è riportato di seguito:

La sua importanza risiede nel calcolo della probabilità e nella statistica: infatti essa rappresenta la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria, una volta noti alcuni valori legati allo studio statistico della variabile in esame. Nella funzione appaiono:

$\bullet$ $\mu$ : il valore atteso o media aritmetica della variabile casuale in questione;
$\bullet$ $\sigma^2$ : la varianza definita come la dispersione dei valori calcolati $x_i$ dal valore medio $\mu$ :

$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(x_j-\mu)^2;$

$\bullet$ $\sigma$ : la deviazione standard della variabile casuale. Il valore $x=\mu$ è quello per cui la funzione $f(x)$ raggiunge il suo massimo $f(\mu)=1/\sqrt{2\pi\sigma^2}$ . Differenti valori di $\mu$ causano una traslazione (a destra per $\mu>0$ , a sinistra per $\mu<0$ ) della funzione stessa. Valori diversi di $\sigma$ , invece, producono un abbassamento (per $\sigma>1$ ) o un innalzamento (per $0<\sigma<1$ ) della curva stessa con relativo schiacciamento o assottigliamento del profilo. Infine, il valore $1/\sqrt{2\pi\sigma^2}$ è un fattore normalizzante tale che

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=1.$

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